2014年高考理数真题试卷（陕西卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1. 设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x²＜1，x∈R}，则M∩N=（）

A、[0，1] B、[0，1） C、（0，1] D、（0，1）

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2. 函数f（x）=cos（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ）的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、2π D、4π

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3. 定积分 $\int_{0}^{1}$ （2x+e^x）dx的值为（）

A、e+2 B、e+1 C、e D、e﹣1

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4. 根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）

A、a_n=2n B、a_n=2（n﹣1） C、a_n=2ⁿ D、a_n=2ⁿ^﹣¹

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5. 已知底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、4π C、2π D、 $\frac{4}{3} π$

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6. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）

A、f（x）= $x^{\frac{1}{2}}$ B、f（x）=x³ C、f（x）=（ $\frac{1}{2}$ ）^x D、f（x）=3^x

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8. 原命题为“若z₁ ， z₂互为共轭复数，则|z₁|=|z₂|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）

A、真，假，真 B、假，假，真 C、真，真，假 D、假，假，假

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9. 设样本数据x₁ ， x₂ ， …，x₁₀的均值和方差分别为1和4，若y_i=x_i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y₁ ， y₂ ， …，y₁₀的均值和方差分别为（）

A、1+a，4 B、1+a，4+a C、1，4 D、1，4+a

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10. 如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）

A、y= $\frac{1}{125} x^{3}$ ﹣ $\frac{3}{5}$ x B、y= $\frac{2}{125}$ x³﹣ $\frac{4}{5}$ x C、y= $\frac{3}{125}$ x³﹣x D、y=﹣ $\frac{3}{125}$ x³+ $\frac{1}{5}$ x

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二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分

11. 已知4^a=2，lgx=a，则x= ．

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12. 若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．

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13. 设0＜θ＜ $\frac{π}{2}$ ，向量 $\vec{a}$ =（sin2θ，cosθ）， $\vec{b}$ =（cosθ，1），若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则tanθ= ．

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14. 观察分析下表中的数据：
多面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是．

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15. 设a，b，m，n∈R，且a²+b²=5，ma+nb=5，则 $\sqrt{m^{2} + n^{2}}$ 的最小值为．

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16. 如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= ．

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17. 在极坐标系中，点（2， $\frac{π}{6}$ ）到直线 $ρ \sin (θ - \frac{π}{6}) = 1$ 的距离是．

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三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤

18. △ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．

(1)、若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

(2)、若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

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19. 如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．

(1)、证明：四边形EFGH是矩形；

(2)、求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

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20. 在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．

(1)、若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，求| $\vec{O P}$ |；

(2)、设 $\vec{O P}$ =m $\vec{A B}$ +n $\vec{A C}$ （m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．

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21. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg）
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格（元/kg）
6
10
概率
0.4
0.6

(1)、设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

(2)、若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

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22. 如图，曲线C由上半椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C₂：y=﹣x²+1（y≤0）连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、过点B的直线l与C₁ ， C₂分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

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23. 设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．

(1)、令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊ ，求g_n（x）的表达式；

(2)、若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、设n∈N₊ ，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．

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多面体	面数（F）	顶点数（V）	棱数（E）
三棱柱	5	6	9
五棱锥	6	6	10
立方体	6	8	12

作物产量（kg）	300	500
概率	0.5	0.5

作物市场价格（元/kg）	6	10
概率	0.4	0.6