2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.1 正比例函数同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 关于正比例函数y=-2x，下列结论正确的是（）

A、图象经过点（-1，-2） B、图象经过第一、三象限 C、y随x的增大而减小 D、不论x取何值，总有y<0

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2. 点 $A (0 ， y_{1})$ 和 $B (2 ， y_{2})$ 都在正比例函数 $y = k x$ ( $k \neq 0$ ，且k为常数)的图象上，若 $y_{1} ＞ y_{2}$ ，则k的值可能是(　　)

A、 $k = 0.5$ B、 $k = - 1$ C、 $k = 2$ D、 $k = 3$

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3. 下列关于正比例函数 $y = - 2 x$ 的结论正确的是（）

A、直线经过第一、三象限 B、y随x的增大而减小 C、直线经过点（-1，-2） D、不论x取何值时，总有 $y < 0$

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4. 下列各点中，在正比例函数 $y = \frac{2}{3} x$ 的图象上的是（）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(2 ， - 3)$

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5. 正比例函数y=kx的示意图如图所示，则k的值可以是（）

A、2 B、1 C、0 D、-2

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6. 如图，在平面直角坐标系中，点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n在x轴上，点B₁ ， B₂ ， …，B在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，若点A₁的坐标为（1，0），且 $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ ， $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ ， …， $△ A_{n} B_{n} A_{n + 1}$ 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S₁ ， S₂ ， …，S_n ，则S_n可表示为（）

A、 $2^{2 n} \sqrt{3}$ B、 $2^{2 n - 1} \sqrt{3}$ C、 $2^{2 n - 2} \sqrt{3}$ D、 $2^{2 n - 3} \sqrt{3}$

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7. 如图，直线l₁的解析式是y＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x，直线l₂的解析式是y＝ $\sqrt{3}$ x，点A₁在l₁上，A₁的横坐标为 $\frac{3}{2}$ ，作A₁B₁⊥l₁交l₂于点B₁ ，点B₂在l₂上，以B₁A₁、B₁B₂为邻边在直线l₁、l₂间作菱形A₁B₁B₂C₁ ，延长B₂C₁交l₁于点A₂ ，点B₃在l₂上，以B₂A₂、B₂B₃为邻边在l₁、l₂间作菱形A₂B₂B₃C₂ ， ………按照此规律继续作下去，则线段A₂₀₂₀B₂₀₂₀长为（）

A、 $2^{2019}$ B、 ${(\frac{3}{2})}^{2019}$ C、 ${(\frac{3}{2})}^{2020}$ D、 ${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2020}$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝ $\sqrt{3}$ x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2 $\sqrt{3}$ ，AD＝1，则OD的最大值是（　　）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ +2 C、 $\sqrt{5}$ +2 D、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

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二、填空题

9. 已知正比例函数 $y = k x$ （k是常数， $k \neq 0$ ），y的值随着x的值的增大而增大，请写出一个满足条件的正比例函数的解析式： $y =$

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10. 在正比例函数 $y ＝ k x$ 中，y的值随着x值的增大而增大，则点 $P (2 ， k)$ 在第象限．

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11. 如图，点B、C分别在两条直线 $y = 2 x$ 和 $y = k x$ 上，点A、D是 $x$ 轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为.

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12. 已知点A的坐标是 $(\sqrt{3} ， - 1)$ ，点B是正比例函数 $y = k x (x > 0)$ 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 $△ A O B$ 为等腰三角形，则k的取值范围是.

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13. 如图，正方形ABCD、正方形A₁B₁C₁D₁、正方形A₂B₂C₂D₂均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A₁、A₂在直线OM上，点C、C₁、C₂在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1.若正方形A₂B₂C₂D₂的边长为2011，则点B₂的坐标为.

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三、解答题

14. 已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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15. 如图，已知正比例函数y＝kx经过点A ，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H ，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．求正比例函数的表达式．

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四、综合题

16. 如图，已知 $A (8 ， m)$ 为正比例函数 $y = \frac{3}{4} x$ 的图象上一点， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为点B.

(1)、求m的值；

(2)、点P从O出发，以每秒 $2$ 个单位的速度，沿射线 $O A$ 方向运动.设运动时间为 $t$ $(s)$ .
①过点P作 $P Q ⊥ O A$ 交直线 $A B$ 于点Q，若 $Δ A P Q ≅ Δ A B O$ ，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得 $Δ P O B$ 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.

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17. 对于实数x， $[x]$ 表示不小于x的最小整数，例如： $[1] = 1$ ， $[2.5] = 3$ ，点 $P (x ， y)$ 为第一象限中的点，将点P分别向上，向下平移 $[y]$ 个单位得到点 $P_{1}$ ， $P_{3}$ ；将点P分别向左，向右平移 $[x]$ 个单位得到点 $P_{2}$ ， $P_{4}$ ，我们称菱形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 叫做点P的伴随菱形．例如：点 $(3 ， \frac{3}{2})$ 的伴随菱形是以点 $(3 ， \frac{7}{2})$ ， $(0 ， \frac{3}{2})$ ， $(3 ， - \frac{1}{2})$ ， $(6 ， \frac{3}{2})$ 构成的菱形．

(1)、在图中画出点 $A (\frac{3}{2} ， 1)$ 的伴随菱形，该菱形的面积为；

(2)、若点 $B (t ， 1)$ 的伴随菱形与点 $A (\frac{3}{2} ， 1)$ 的伴随菱形恰有3个公共点，求满足条件的t的最小值；

(3)、若点 $C (\frac{3}{2} ， 2)$ 与点 $D (m ， n)$ 所对应的伴随菱形面积相同，且点 $D (m ， n)$ 在函数 $y = k x$ 的图象上，直接写出k的取值范围．

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