2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.3 正方形同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）

A、两组对边分别平行 B、对角线互相垂直 C、四个角都为直角 D、对角线互相平分

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2. 下列命题是真命题的是（）

A、对角线相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形

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3. 如图，四边形ABCD是正方形，在正方形内部作等边三角形EDC ，则 $∠ A E C$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $125 °$ C、 $130 °$ D、 $135 °$

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4. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记 $△ A O M$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C O N$ 的面积为 $S_{2}$ ，若正方形的边长 $A B = 10$ ， $S_{1} = 16$ ，则 $S_{2}$ 的大小为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5. 如图，在正方形 $O A B C$ 中， $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(- \sqrt{2} ， 1)$ B、 $(- 1 ， \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ D、 $(- \sqrt{3} ， - 1)$

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6. 如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积是4cm² ，则它移动的距离AA'等于（）

A、3cm B、2.5cm C、1.5cm D、2cm

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7. 如图，在 Rt△ABC中，LACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH 上，CG与EF相交于点P，CM 与BE相交于点Q.若HF=FG则 $\frac{S_{四边形 P C Q E}}{S_{正方形 A B E F}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ D、 $\frac{6}{25}$

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8. 如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，过P作PE⊥BC，PF⊥DC，垂足分别为E、F，连接EF，若EF= $\sqrt{5}$ ， $\frac{P E}{C D} = \frac{1}{3}$ ，点D到AP的距离（）

A、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

9. 如图 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D ， E分别是边AB ， AC的中点，点G ， F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若 $D E = 2$ cm，则 $A C =$ cm．

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10. 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为.

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11. 如果正方形的一条对角线长为 $4 \sqrt{2}$ ，那么该正方形的面积为.

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $△ B P C$ 是等边三角形，则阴影部分的面积为．

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13. 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
图1 图2

(1)、如图1，当点E与点A重合时， $B F =$ ；

(2)、如图2，当点E在线段AD上时， $A E = 1$ ，则 $B F =$ ．

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三、解答题

14. 如图，正方形ABCD中，E是CD边的中点，F是BC边上一点，∠FAE＝∠DAE ．

(1)、求证：AF＝AD+CF；

(2)、已知正方形ABCD的边长为4．
①求AF之长；
②若P是AE上一点，且△DEP是等腰三角形，则线段EP的长为 ▲ ．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $C E$ ， $D F$ 相交于点 $O$ .

(1)、求证： $C E ⊥ D F$ ；

(2)、如果点 $G$ ， $H$ 分别是 $C E$ ， $D F$ 的中点，连接 $C H$ 并延长交 $A D$ 于 $P$ ，连接 $G H$ ，若 $A B = 4$ ，求 $G H$ 的长.

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四、综合题

16. 已知：四边形 $A B C D$ 为正方形， $E$ 为对角线 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ， $B E$ ．过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交边 $B C$ 于点 $F$ ，以 $D E$ ， $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、求证：矩形 $D E F G$ 是正方形；

(2)、若正方形 $A B C D$ 的边长为 $9$ ， $C G = 3 \sqrt{2}$ ，求正方形 $D E F G$ 的边长．

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17. 问题解决：如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E = A F ， D E ⊥ A F$ 于点 $G$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、延长 $C B$ 到点 $H$ ，使得 $B H = A E$ ，判断 $△ A H F$ 的形状，并说明理由.
类比迁移：如图2，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E$ 与 $A F$ 相交于点 $G$ ， $D E = A F ， ∠ A E D = 60 ° ， A E = 6 ， B F = 2$ ，求 $D E$ 的长.

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