2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.1 矩形同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（）

A、AC⊥BD B、AC=BD C、AB=BC D、AB=AC

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2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6，则矩形的边AB的长为（）

A、3 B、6 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知OA＝5， $∠ A O B = 6 0^{°}$ ，则下列选项中图形的周长是有理数的是（）

A、 $△ A B C$ B、 $△ B O C$ C、 $△ C O D$ D、矩形 $A B C D$

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A H$ 是高， $A M$ 是中线，那么在结论① $∠ B = ∠ B A M$ ， ② $∠ B = ∠ M A H$ ， ③ $∠ B = ∠ C A H$ ， ④ $A M = \frac{1}{2} B C$ ， ⑤ $S_{A C H} = S_{A B M}$ 中错误的个数（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上的一点， $A B = A D ， E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $B D$ 的中点， $E F = 3$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）

A、（-1，3） B、（-1，2） C、（-2，3） D、（-2，4）

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7. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 如图，四边形ABCD是矩形， $A B = \sqrt{10}$ ， $A D = 4 \sqrt{2}$ ，点P是边AD上一点 $($ 不与点A ， D重合 $)$ ，连接PB ， PC ，点M ， N分别是PB ， PC的中点，连接MN ， AM ， DN ，点E在边AD上， $M E / / D N$ ，则 $A M + M E$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=a米，宽AD=b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为．

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10. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，有一矩形 $O A B C$ ，点 $B$ 的坐标是 $(1 ， 3)$ ，则 $A C$ 的长是。

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11. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ，固定边 $O A$ ，向左“推”矩形 $O A B C$ 使点 $B$ 落在 $y$ 轴的点 $B^{'}$ 的位置，则点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 的坐标是．

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12. 如图，在矩形ABMN中，AN=1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC=2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF.当EF⊥AC时，AE的长为.

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13. 如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则 $\frac{O C}{O F}$ 的值是．

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三、解答题

14. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．

(1)、求AM的长．

(2)、求证：MN⊥AC．

(3)、求MN的长．

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15. 巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形，我们将这种宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形 $A B C D$ 的宽 $A B = 1$ ．

(1)、黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C =$ ；

(2)、如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以 $A B$ 为边的正方形 $A B E F$ ，得到新的矩形 $D C E F$ ，猜想矩形 $D C E F$ 是否为黄金矩形，并证明你的结论；

(3)、在图②中，连接 $A E$ ，求点 $D$ 到线段 $A E$ 的距离．

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四、综合题

16. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点.

(1)、如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是， QE与QF的数量关系式；

(2)、如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

(3)、如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.

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17. 如图①，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A = 90 °$ ， $A D = 6$ ， $B C = 9$ ， $C D = 5$ ，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动，设点Q运动时间为t秒．

(1)、AB的长为．

(2)、求线段PD的长（用含t的代数式表示）．

(3)、当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值．

(4)、如图②，若点E为BC边上一点，且 $B E = 5$ ，当 $△ P B E$ 是以BE为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．

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