2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在 $▱ A B C D$ 中，若 $∠ A + ∠ C = 90 ° ， ∠ B$ 的度数是（）

A、 $100 °$ B、 $45 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $A B = A C$ ，点D在 $A C$ 边上，以 $C B$ ， $C D$ 为边作平行四边形 $B C D E$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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3. 如图，四边形 $A B C O$ 为平行四边形，A ， C两点的坐标分别是 $(3 ， 0)$ ， $(1 ， 2)$ ，则平行四边形 $A B C O$ 的周长等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $6 + 2 \sqrt{5}$

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4. 如图，▱ABCD的对角线AC ， BD交于点O ， AE平分∠BAD ，交BC于点E ，且∠ADC＝60°，AD＝2AB ，连接OE ，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S_{平行四边形}_ABCD＝AC•CD；④S_四边形_OECD＝ $\frac{3}{2}$ S_△_AOD：⑤OE＝ $\frac{1}{4}$ AD ．其中成立的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 12$ ， $A C = 26$ ， $∠ A D B = 90 °$ ，则 $A D$ 与 $B C$ 间的距离为（）

A、5 B、10 C、 $2 \sqrt{61}$ D、26

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6. 已知在梯形 $A B C D$ 中，连接 $A C ， B D$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，设 $A B = a ， C D = b$ ．下列两个说法：
① $A C = \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b)$ ；② $A D = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}$
则下列说法正确的是（）

A、①正确②错误 B、①错误②正确 C、①②均正确 D、①②均错误

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7. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = 45 °$ ， $A G ⊥ B C$ 于E， $C F ⊥ A B$ 于F， $A G 、 C F$ 交于H， $C F$ 、 $D A$ 的延长线交于E，给出下列结论：
① $A C = \sqrt{2} A G$ ；         ② $∠ D = ∠ C H G$ ；
③ $C H = C D$ ；           ④若点F是 $A B$ 的中点，则 $B G = (\sqrt{2} - 1) G C$ ；
其中正确的结论有（    ）．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，点 $D$ 为边 $A C$ 上一点，点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上， $B C = 2 C F$ ．若四边形 $D C F E$ 是平行四边形，连接 $A E$ ， $B E$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、24 B、12 C、8 D、6

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二、填空题

9. 在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 10 ， B C = 14 ， E 、 F$ 分别为边 $B C 、 A D$ 上的点，若四边形 $A E C F$ 为正方形，则 $A E$ 的长为．

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = B D$ ，点 $E$ 在 $B D$ 上， $D E = C E$ ．如果 $∠ A = 70 °$ ，那么 $∠ E C B =$ °．

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11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，以点 $C$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $P$ ，交 $C D$ 于点 $Q$ ，再分别以点 $P$ ， $Q$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} P Q$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $N$ ，射线 $C N$ 交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，则 $A E$ 的长是．

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12. 如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连结CE，分别延长CE，DA交于点F.若CE=EF=4，则CD的长为.

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13. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为 $10 c m$ ，动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿 $B \to A \to C \to B$ 的方向以 $3 c m / s$ 的速度运动，动点 $N$ 从点 $C$ 出发，沿 $C \to A \to B \to C$ 的方向以 $2 c m / s$ 的速度运动，且动点 $M$ ， $N$ 同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动 $.$ 那么运动到第秒时，点 $A$ ， $M$ ， $N$ 以及 $△ A B C$ 的边上一点 $D$ 恰能构成一个平行四边形．

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三、解答题

14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ， $P (m ， n)$ ，且 $m$ ， $n$ 满足 ${\begin{array}{l} m + n = 2 a - 4 ① \\ m - n = 2 a + 2 ② \end{array}$ ．

(1)、求点 $P$ 的坐标；（用含 $a$ 的式子表示）

(2)、过点 $P$ 作 $P Q ∥ A B$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，当 $a = \frac{1}{2}$ 时，
①求 $△ P B C$ 的面积；

②若点 $D$ 在直线 $P Q$ 上，且点 $D$ 的横坐标为5，求点 $D$ 的纵坐标．

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15. 如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点G的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．

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四、综合题

16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=90°，且AD=9cm，AB=4cm，延长BC到点E，使CE=3cm，连接DE.若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD运动；动点Q从E点出发以每秒3cm的速度沿EB向B点运动，当点P、Q有一个到位置时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：

(1)、求DE的长

(2)、当t为多少时，四边形PQED成为平行四边形；

(3)、请直接写出使得△DQE是等腰三角形时t的值

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17. 【综合探究】已知 $R t △ O A B$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边 $O A$ 在 $x$ 轴上且 $O A = 4$ ，边 $O B$ 在 $y$ 轴上且 $O B = 3$ ， $B D$ 平分 $∠ O B A$ 交 $O A$ 于点 $D$ ．

(1)、请直接写出 $A$ 、 $B$ 两点的坐标： $A$ ， $B$ ．

(2)、如图1，求点 $D$ 的坐标．

(3)、过点 $D$ 作 $D E ∥ A B$ 交 $O B$ 于点 $E$ ．如图2，求 $△ B E D$ 面积．

(4)、在平面内是否存在一点 $Q$ ，使得 $E$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $Q$ 四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标：若不存在，请说明理由．

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