2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（）

A、 $42 \sqrt{3}$ 米 B、 $14 \sqrt{3}$ 米 C、21米 D、42米

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2. 如图是拦水坝的横断面，堤高 $B C$ 为 $6$ 米，斜面坡度为 $1$ ： $2$ ，则斜坡 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ 米 B、 $6 \sqrt{5}$ 米 C、 $12 \sqrt{5}$ 米 D、 $24$ 米

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3. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（）

A、 $(4 + 3 \sin α) m$ B、 $(4 + 3 \tan α) m$ C、 $(4 + \frac{3}{\sin α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{\tan α}) m$

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4. 如图，在离铁塔100米的 $A$ 处，用测角器测得塔顶的仰角为 $α$ ，测角器高 $A D$ 为1.4米，则铁塔的高 $B C$ 为（）

A、 $(1.4 + 100 t a n α)$ 米 B、 $(1.4 + \frac{100}{t a n α})$ 米 C、 $(1.4 + \frac{100}{s i n α})$ 米 D、 $(1 ， 4 + 100 s i n α)$ 米

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5. 如图， $R t △ A B C$ 与 $R t △ C D E$ ，直角顶点重合于点 $C$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上， $∠ B A C = ∠ D E C$ 且 $s i n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，连接 $A E$ ，若 $B D = 2$ ， $A D = 7$ ，则 $A E$ 长为（）

A、 $\frac{5}{2} \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\frac{7}{2} \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 如图，坡角为 $30 °$ 的斜坡上有一棵大树 $M N$ （ $M N$ 垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成 $45 °$ 角沿斜坡照下时，在斜坡上树影 $N T$ 的长为30米，则大树 $M N$ 的高为（）

A、 $15$ 米 B、 $15 \sqrt{3}$ 米 C、 $15 \sqrt{3} - 15$ 米 D、 $15 \sqrt{3} + 15$ 米

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7. 如图，若 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则 $S_{1} ： S_{2}$ ＝（）

A、5：8 B、8：5 C、1：1 D、2：7

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8. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD²＝PH•CD；④ $\frac{S_{△ B P D}}{S_{正方形 A B C D}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ ．其中正确的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，古人用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中大正方形面积为20，tana=2，则小正方形的面积为.

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10. 某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥.一汽车在坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ 的笔直高架桥起点 $A$ 开始爬行，行驶了15米到达点 $B$ ，则此时汽车离地面的高度为米.

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11. 如图，长尾夹的侧面是△ABC ，当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知AB＝AC＝15mm ， ∠ACB＝70°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为 mm ．
（结果精确到1mm）
【参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75】

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12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝4 $\sqrt{3}$ ，点P是直角边BC上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得线段AD，连接CD，则线段CD的最小值是．

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13. 如图，已知 $A B = 6 \sqrt{3}$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 上， $△ A C D$ 是底边长为6的等腰三角形且 $∠ A D C = 120 °$ ，以 $C D$ 为边在 $C D$ 的右侧作矩形 $C D E F$ ，连接 $D F$ ，点 $M$ 是 $D F$ 的中点，连接 $M B$ ，则线段 $M B$ 的最小值为．

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三、解答题

14. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度 $A B$ ，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪 $C D$ 测得塔顶A的仰角为 $37 °$ ，然后沿 $C B$ 方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为 $45 °$ ．请根据他们的测量数据求塔高 $A B$ 的长度大约是多少．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $c o s 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ．）

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15. 如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连结BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°.

(1)、若∠BDC=90°，以 AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB= 90°，∠EBA = 30°，连结DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是.

(2)、如图2，在（1）的条件下，若 DE⊥AB，AB=-4，AC=2，求 BC的长.

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四、综合题

16. 如图①，将一个正方形纸片 $O A B C$ 和一个等腰直角三角形纸片 $O E D$ 放入平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (0 ， 5)$ ， $E (0 ， 4)$ ， $D (4 ， 0)$ ．如图②，将纸片 $O E D$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，设旋转角为 $α$ ．

(1)、当旋转角 $α$ 为30°时，求此时点E的坐标；

(2)、当旋转角 $α$ 为 $45 °$ 时，连接 $A E$ ，求 $A E^{2}$ 的值．

(3)、在旋转的过程中，当 $∠ O A E$ 最大时，求此时 $△ C O D$ 的面积（直接写出结果即可）．

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17. 如图，点 $A (0 ， - 2)$ ， B为x轴上一动点，线段AB的垂直平分线CD交y轴于点D， $B C ⊥ x$ 轴交CD于C，记 $C (m ， n)$ ．

(1)、点C的轨迹是
①一条直线；②一条关于y轴对称的折线；③一条抛物线；

(2)、求n与m的关系式；

(3)、在B的运动过程中，是否存在 $△ A B C$ 是等边三角形，如果不存在请说明理由，如果存在请求出此时C的坐标；

(4)、当点O到直线CD距离等于2时，直接写出 $m^{2}$ 的值．

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2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练 培优题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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