2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $s i n A = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 如图，小明利用标杆 $B E$ 测量建筑物 $C D$ 的高度，已知标杆 $B E$ 的长为1.2米，测得 $A B = \frac{8}{5}$ 米， $B C = \frac{42}{5}$ 米.则楼高 $C D$ 是（）

A、6.3米 B、7.5米 C、8米 D、6.5米

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3. 如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B.已知凉亭A在大树B的正西方向.若BC=50米，则AB的长等于多少米？

A、 $\frac{50}{s i n 3 5^{°}} - \frac{50}{c o s 3 5^{°}}$ B、 $\frac{50}{s i n 3 5^{°}} + \frac{50}{c o s 3 5^{°}}$ C、 $50 (c o s 3 5^{°} - s i n 3 5^{°})$ D、 $50 (c o s 3 5^{°} + s i n 3 5^{°})$

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4. 消防云梯如图所示，AB⊥BC于点B，当点C刚好在点A的正上方时，DF的长是（）

A、 $a c o s θ + b s i n θ$ B、 $a c o s θ + b t a n θ$ C、 $\frac{a}{c o s θ} + b s i n θ$ D、 $\frac{a}{c o s θ} + \frac{b}{s i n θ}$

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5. 图1是一块矩形材料 $A B C D$ ，被分割成三块， $∠ A E B = 30 °$ ， $G F ⊥ A D$ ，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则 $\frac{A B}{B C} = ($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3} - 3$

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6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ $\sqrt{3}$ ，那么∠B的度数是（）

A、15° B、45° C、30° D、60°

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $s i n C = \frac{3}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、12 C、14 D、21

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8. 电线杆 $A B$ 直立在水平的地面 $B C$ 上， $A C$ 是电线杆 $A B$ 的一根拉线，测得 $B C = 5$ ， $∠ A C B = 52 °$ ，则拉线 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{t a n 52 °}$ B、 $\frac{5}{c o s 52 °}$ C、 $5 \cdot c o s 52 °$ D、 $\frac{5}{s i n 52 °}$

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二、填空题

9. 某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上.则斜坡AB的水平宽度BC为米.

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10. 某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB=30m，用高1m（AC=1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是.

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $B C = 4$ ，以 $A C$ 为直径的半圆交 $A B$ 于点 $D$ ，则图中阴影部分的面积是．（结果保留 $π$ ）

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12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算tan45°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB ，使BD＝AB ，连接AD ，使得∠D＝15°，所以tan15°＝ $\frac{A C}{C D} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，类比这种方法，计算tan22.5°＝．

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13. 如图，在高楼前 $D$ 点测得楼顶的仰角为 $30 °$ ，向高楼前进 $a$ 米到 $C$ 点，又测得仰角为 $60 °$ ，已知该高楼的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米，则 $a =$ 米．

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三、解答题

14. 小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， $\sqrt{2}$ 取1.414．

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15. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm.

(1)、身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？

(2)、身高120cm的小若，头部高度为15cm，踞起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角﹑俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明.（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

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四、综合题

16. 图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．

(1)、求点M到地面的距离；

(2)、某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx$ 1.73，结果精确到0.01米）

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17. 在 $⊙ O$ 中，半径 $O C$ 垂直于弦 $A B$ ，垂足为D， $∠ A O C = 60 °$ ， E为弦 $A B$ 所对的优弧上一点．

(1)、如图①，求 $∠ A O B$ 和 $∠ C E B$ 的大小；

(2)、如图②， $C E$ 与 $A B$ 相交于点F， $E F = E B$ ，过点E作 $⊙ O$ 的切线，与 $C O$ 的延长线相交于点G，若 $O A = 3$ ，求 $E G$ 的长．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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