2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ， $B C = 8$ ，则 $A C$ 等于（）

A、6 B、16 C、12 D、4

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2. 在锐角 $△ A B C$ 中， $(t a n C - \sqrt{3})^{2} + |\sqrt{2} - 2 \sin B|$ =0，则 $∠ A =$ （）

A、 $3 0^{°}$ B、 $4 5^{°}$ C、 $6 0^{°}$ D、 $7 5^{°}$

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3. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B D ⊥ A C$ 于点 $D ， c o s A = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n ∠ C B D$ 的值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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4. 正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线， $C D = 4$ ， $A C = 6$ ，则 $c o s A$ 的值是（　　）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝ $\sqrt{2}$ ；④△AMN∽△CAB.正确的有（）

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、②③④

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，将 $△ B C D$ 沿射线 $B D$ 平移a个单位长度（ $a > 0$ ）得到 $△ B^{'} C^{'} D^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ， $A D^{'}$ ，则当 $△ A B^{'} D^{'}$ 是直角三角形时，a的值为（）

A、 $\frac{7}{5}$ 或 $\frac{16}{5}$ B、2或 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ 或 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$ 或3

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二、填空题

9. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 的对边分别为a、b、c，且满足 $a^{2} + | c - 10 | + \sqrt{b - 8} = 12 a - 36$ ，则 $s i n B$ 的值为．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ，交 $A C$ 于 $E$ ，若 $\frac{A E}{E C} = \frac{5}{3}$ ，则 $t a n ∠ A =$ .

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11. 已知抛物线 $y = 3 x^{2} + 1$ 与直线 $y = 4 s i n α \cdot x$ 只有一个交点，则锐角 $α =$ 度．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 的中垂线 $D E$ 交 $A C$ 于点D ，交 $A B$ 于点E ，若 $B C = 4$ ， $A C = 10$ ，则 $∠ C B D$ 的正切值为．

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13. 如图，已知点 $A$ 坐标为 $(\sqrt{3} ， 1)$ ， $B$ 为 $x$ 轴正半轴上一动点，则 $∠ A O B$ 度数为，在点 $B$ 运动的过程中 $A B + \frac{1}{2} O B$ 的最小值为．

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三、解答题

14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，点 $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $B C$ 延长线于点 $P$ ，连接 $O D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $D E C P$ 是矩形；

(2)、作射线 $A D$ 交 $B C$ 的延长线于点F ，若 $t a n ∠ C A B = \frac{3}{4}$ ， $B C = 6$ ，求 $D F$ 的长．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 是钝角， $A D ⊥ B C$ 交BC的延长线于点D，E， $F$ 分别为AC，AB的中点， $∠ F C E = ∠ C E D$ .连结DF，EF，设DF与EC交于点 $O$ .

(1)、求证： $O D = O F$ .

(2)、若 $O F = \frac{5}{2} ， t a n B = \frac{4}{3}$ 时，求AC的长.

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四、综合题

16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ .点D和点E分别为AC和BC的中点，连接DE.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作 $P F ⊥ A B$ ，交折线AC-CB于点F ，以PF为一边向PF的右侧作正方形PFGH.设点P的运动时间为t秒 $(t > 0)$ .

(1)、DE的长为；

(2)、当点F在AC边上，且 $D E = 3 P F$ 时，求t的值；

(3)、当点E落在正方形PFGH的内部时，求t的取值范围；

(4)、当线段DE将正方形PFGH的边PF分成两部分的比为 $\frac{1}{3}$ 时，直接写出t的值.

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17. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF.直线DG交直线AB于点H.

(1)、当点E在线段AB上时，求证：△ABF ∽△DAE.

(2)、当AE=2时，求EH的长.

(3)、在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形.若存在，求AE的长.

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2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 培优题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练培优题