2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 已知α为锐角，且 $s i n (α - 1 0^{°}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则α等于（　　）

A、70° B、60° C、40° D、30°

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3. 等腰三角形的底边长为 $10 c m$ ，周长为 $36 c m$ ，则底角的正切值是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、无法确定

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4. 如图，在 $△ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，延长 $A B$ 到点 $D$ ，使 $B D = A B$ ，连接 $C D$ ，若 $t a n ∠ B C D = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{B C}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 如图， $△ A B C$ 的顶点是正方形方格的格点，则 $t a n ∠ A C B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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6. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC， $∠ A B C = 27 °$ ， BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据： $s i n 27 ° \approx 0.45$ ， $c o s 27 ° \approx 0.89$ ， $t a n 27 ° \approx 0.51$ ）

A、9.90cm B、11.22cm C、19.58cm D、22.44cm

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7. 在 $△ A B C$ 中，若 $| c o s A - \frac{1}{2} | + 2 (1 - t a n B)^{2} = 0$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $105 °$

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8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）。

A、c=bsinB B、b=csinB C、a=btanB D、b=ctanB

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二、填空题

9. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A = 30 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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10. 在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A$ ， $∠ B$ 满足 $| c o s A - \frac{\sqrt{3}}{2} | + (1 - t a n B)^{2} = 0$ ，则 $∠ C =$ ．

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11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，连接DB，那么 $t a n$ ∠ $D B C$ 的值是．

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12. 如图，在平面直角坐标系内有一点 $P (5 ， 12)$ ，那么 $O P$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角 $α$ 的正弦值．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以 $A C$ 和 $B C$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $B C D E$ ，过点 $D$ 作 $F C$ 的延长线的垂线，垂足为点 $H$ ．连接 $F D$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $M$ ．下列说法：① $△ A B C ≌ △ H D C$ ；②若 $F G = 1$ ， $D E = 2$ ，则 $C N = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ ；③ $\frac{S_{△ C F M}}{S_{△ C D H}} = \frac{1}{2}$ ；④ $F M = D M$ ；⑤若 $A G = \sqrt{3}$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{2}{3}$ ，则 $△ F C M$ 的面积为 $4$ ，正确的有． (填序号)

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三、解答题

14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 5$ ， $A B = 13$ .求 $c o s A$ 的值.

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (1 ， 2)$ 在双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0)$ 上，点B在双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 上，且满足 $O A ⊥ O B$ ，连接 $A B$ ．

(1)、求双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0)$ 的表达式；

(2)、若 $t a n ∠ O A B = \sqrt{2}$ ，求 $k_{2}$ 的值．

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四、综合题

16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是圆上的一点， $C D ⊥ A D$ 于点 $D$ ， $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $A C$ ，若 $A C$ 平分 $∠ D A B$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A B$ 于点 $G$ 交 $A C$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、延长 $A B$ 和 $D C$ 交于点 $E$ ，若 $A E = 4 B E$ ，求 $c o s ∠ D A B$ 的值；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，求 $\frac{F H}{A F}$ 的值．

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17. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、如图 $1$ ，点 $M$ 从点 $B$ 出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿线段 $B C$ 向点 $C$ 运动，点 $N$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度沿线段 $O B$ 向点 $B$ 运动，点 $M$ ， $N$ 同时出发．设运动时间为 $t$ 秒（ $0 < t < 5$ ）．当 $t$ 为何值时， $△ B M N$ 的面积最大？最大面积是多少？

(3)、已知 $P$ 是抛物线上一点，在直线 $B C$ 上是否存在点 $Q$ ，使以 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 提升题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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