2014年高考理数真题试卷（辽宁卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁_U（A∪B）=（）

A、{x|x≥0} B、{x|x≤1} C、{x|0≤x≤1} D、{x|0＜x＜1}

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2. 设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）

A、2+3i B、2﹣3i C、3+2i D、3﹣2i

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3. 已知a= $2^{- \frac{1}{3}}$ ，b=log₂ $\frac{1}{3}$ ，c=log $_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、a＞b＞c B、a＞c＞b C、c＞a＞b D、c＞b＞a

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4. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C、若m⊥α，m⊥n，则n∥α D、若m∥α，m⊥n，则n⊥α

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5. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是非零向量，已知命题p：若 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =0， $\vec{b}$ • $\vec{c}$ =0，则 $\vec{a}$ • $\vec{c}$ =0；命题q：若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ， $\vec{b}$ ∥ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ ，则下列命题中真命题是（）

A、p∨q B、p∧q C、（￢p）∧（￢q） D、p∨（￢q）

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6. 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A、144 B、120 C、72 D、24

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7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、8﹣2π B、8﹣π C、8﹣ $\frac{π}{2}$ D、8﹣ $\frac{π}{4}$

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8. 设等差数列{a_n}的公差为d，若数列{ $2^{a_{1} a_{n}}$ }为递减数列，则（）

A、d＜0 B、d＞0 C、a₁d＜0 D、a₁d＞0

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9. 将函数y=3sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（）

A、在区间[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{7 π}{12}$ ]上单调递减 B、在区间[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{7 π}{12}$ ]上单调递增 C、在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上单调递减 D、在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上单调递增

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10. 已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y²=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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11. 当x∈[﹣2，1]时，不等式ax³﹣x²+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、[﹣5，﹣3] B、[﹣6，﹣ $\frac{9}{8}$ ] C、[﹣6，﹣2] D、[﹣4，﹣3]

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12. 已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜ $\frac{1}{2}$ |x﹣y|．
若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2 π}$ D、 $\frac{1}{8}$

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二、填空题

13. 执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y= ．

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14. 正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x²和y=x²上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．

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15. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{9}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．

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16. 对于c＞0，当非零实数a，b满足4a²﹣2ab+4b²﹣c=0且使|2a+b|最大时， $\frac{3}{a}$ ﹣ $\frac{b}{4}$ + $\frac{5}{c}$ 的最小值为．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知 $\vec{B A}$ • $\vec{B C}$ =2，cosB= $\frac{1}{3}$ ，b=3，求：

(1)、a和c的值；

(2)、cos（B﹣C）的值．

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18. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)、求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)、用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

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19. 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．

(1)、求证：EF⊥BC；

(2)、求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．

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20. 圆x²+y²=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点P且离心率为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求C₁的方程；

(2)、若椭圆C₂过点P且与C₁有相同的焦点，直线l过C₂的右焦点且与C₂交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．

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21. 已知函数
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣ $\frac{8}{3}$ （sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣ $\frac{2 x}{π}$ ）
证明：

(1)、存在唯一x₀∈（0， $\frac{π}{2}$ ），使f（x₀）=0；

(2)、存在唯一x₁∈（ $\frac{π}{2}$ ，π），使g（x₁）=0，且对（Ⅰ）中的x₀ ，有x₀+x₁＜π．

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四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.

22. 如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．

(1)、求证：AB为圆的直径；

(2)、若AC=BD，求证：AB=ED．

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23. 将圆x²+y²=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．

(1)、写出C的参数方程；

(2)、设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P₁ ， P₂ ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

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24. 设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x²﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．

(1)、求M；

(2)、当x∈M∩N时，证明：x²f（x）+x[f（x）]²≤ $\frac{1}{4}$ ．

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