湖南省2024年初中学业水平考试模拟数学试卷

试卷更新日期：2024-03-20 类型：中考模拟

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 2024的相反数是（　　）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

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2. 某科学家研究发现人类头发的直径是 $0.0008$ 分米 $.$ 将 $0.0008$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0 ． 8 \times 10^{2}$ B、 $8 \times 10^{- 3}$ C、 $8 \times 10^{4}$ D、 $8 \times 10^{- 4}$

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3. 下列计算正确的是（　　）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b - b^{2}$ C、 $(a + b) (b - a) = a^{2} - b^{2}$ D、 $(a - b) (- a - b) = b^{2} - a^{2}$

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4. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若 $∠ 1 = 42 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $132 °$

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5. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如下表：
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
5
7
10
16
12
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（）

A、4.9和4.8 B、4.9和4.9 C、4.8和4.8 D、4.8和4.9

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6. 如图，在直径为 $10 c m$ 的 $⊙ O$ 中，弦 $A B = 6 cm$ ， $O C ⊥ A B$ 于点C ，则 $O C =$ （）

A、 $3 c m$ B、 $4 c m$ C、 $5 c m$ D、 $6 c m$

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7. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与x轴、y轴分别交于 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 1)$ 两点，则不等式 $k x + b > 1$ 的解集是（）

A、 $x < 0$ B、 $x < 1$ C、 $x < 2$ D、 $x > 2$

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8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为 $x$ 人，则可列方程为（）

A、 $10 x = 40 (x + 6)$ B、 $10 (x - 6) = 40 x$ C、 $\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$ D、 $\frac{10}{x - 6} = \frac{40}{x}$

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 一条弦，将劣弧沿弦 $A B$ 翻折，连结 $A O$ 并延长交翻折后的弧于点 $C$ ，连结 $B C$ ，若 $A B = 2 ， B C = 1$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3} \sqrt{5}$ B、 $\frac{3}{4} \sqrt{5}$ C、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{7} \sqrt{5}$

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10. P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|叫做P₁ ， P₂两点间的“直角距离”，记作d（P₁ ， P₂）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P ， Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x ， y）满足d（P ， Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个．

A、4 B、8 C、10 D、12

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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11. 若二次根式 $\sqrt{2 x - 6}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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12. 分解因式：2x³－8x=.

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13. 在周长为800米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为米．

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14. 如图，直线 $y = m x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于A ， B两点，过点A作 $A M ⊥ x$ 轴，垂足为点M ，连接 $B M$ ，若 $S_{Δ A B M} = 4$ ，则k的值为．

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15. 有下列几个数： $- 5 tan 45 °$ ， 0， $\sqrt{2} sin 45 °$ ， 5，从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程 $x^{2} - 25 = 0$ 的根的概率是．

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16. 如图，点E ， F ， G ， H分别是四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 的中点，连接四边形 $A B C D$ 各边中点，当四边形 $A B C D$ 满足条件，四边形 $E F G H$ 是矩形．

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17. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M ，连接 $A M$ 并延长交圆于点C ，连接 $A D$ ．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出弦 $A P$ ，使 $A P$ 平分 $∠ C A D$ ．

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18. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则方程 $a {(x + 3)}^{2} + b (x + 3) + c = 2$ 的根是．

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三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分）

19. 计算： $| - 2 | + {(π - 3)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(- 1)}^{2024}$

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20. 先化简 $(\frac{3 a}{a - 2} - \frac{a}{a + 2}) \div \frac{2 a}{a^{2} - 4}$ ，再从 $- 2$ ， $- 1$ ， 0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．

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21. 体育是湖南省中考的必考科目，现随机抽取初二年级部分学生进行“你最想选择哪个考试科日？”的问卷调查，参与调查的学生需从A、B、C、D、E五个选项（A：引体向上；B：仰卧起坐；C：立定跳远；D：实心球：E：跳绳）中任选一项（必选且只选一项）．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息完成以下问题：

(1)、参加本次调查的一共有名学生；在扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数是；

(2)、请你补全条形统计图；

(3)、已知某中学初二年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有多少人？

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22. 某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高 $A D$ 为 $6 m$ ，坡角 $∠ A B D$ 为 $30 °$ ，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 $∠ A C B = 16 °$ ，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 $B C$ 的长．（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $s i n 16 ° \approx 0.28$ ， $c o s 16 ° \approx 0.96$ ， $t a n 16 ° \approx 0.29$ ）

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23. 我区启动“绿色公园”建设，计划对面积为 $3600 m^{2}$ 的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队完成绿化 $360 m^{2}$ 的面积与乙工程队完成绿化 $240 m^{2}$ 的面积所用的时间相同，若甲工程队每天比乙工程队多绿化 $30 m^{2}$ ．

(1)、求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；

(2)、若甲工程队每天的绿化费用是 $1.2$ 万元，乙工程队每天的绿化费用是 $0 ． 5$ 万元，要使这次绿化的总费用不超过30万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？

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24. 如图，四边形 $A E C F$ 是菱形，对角线 $A C$ 、 $E F$ 交于点O ，点D、B是对角线 $E F$ 所在直线上两点，且 $D E = B F$ ，连接 $A D$ 、 $A B$ 、 $C D$ 、 $C B$ ， $∠ A D O = 45 °$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形：

(2)、若四边形 $A B C D$ 的面积为72， $B F = 4$ ，求点F到线段 $A E$ 的距离．

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25. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $A E ⊥ B C$ 于点F ．

(1)、如图1，求证： $∠ A D C - ∠ B A E = 90 °$ ；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点D作 $D H ⊥ B C$ 于点H ，求证： $B H = H C + A B$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $D E$ 交 $F C$ 于点G ，若 $A B = 10$ ， $A F = 8 H C$ ，求 $E G$ 的长．

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26. 已知抛物线 $y = {(x - t)}^{2} + t - 5$ ，其中 $t$ 是实数．

(1)、已知三个点 $(1，0) ， (1 ， - 4) ， (2 ， - 7)$ ，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；

(2)、在（1）的条件下，抛物线与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点（点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点的记为 $G$ ，
①若点 $D$ 在点 $B ， C$ 之间的抛物线上运动（不与点 $B ， C$ 重合），连接 $O D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $C D$ ．记 $△ C D E ， △ C O E$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；
②过点 $G$ 的直线 $l$ 与抛物线的另一个交点为 $P$ ，直线 $l$ 与直线 $l^{'} ： y = - \frac{17}{4}$ 交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $l^{'}$ 的垂线，交抛物线于点 $Q$ ，过 $P Q$ 的中点 $M$ 作 $M N ⊥ l^{'}$ 于点 $N$ ．求证： $M N = \frac{1}{2} P Q$ ．

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视力	4.7以下	4.7	4.8	4.9	4.9以上
人数	5	7	10	16	12