2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试卷（五）（三年内高频考点）

试卷更新日期：2024-03-19 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是（）．

A、垂线段最短 B、两点之间线段最短 C、两点确定一条直线 D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

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2. 教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则M和N分别代表的是（）

A、多项式，次数 B、单项式，合并同类项 C、系数，次数 D、多项式，合并同类项

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3. 若 $x > y$ ，则下列式子中，不正确的是（）

A、 $- 3 x > - 3 y$ B、 $x + 3 > y + 3$ C、 $x - 3 > y - 3$ D、 $3 x > 3 y$

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4. 已知 $\sqrt{7} = a$ ， $\sqrt{70} = b$ ，则 $\sqrt{4.9}$ 用 $a 、 b$ 表示为（）

A、 $\frac{a + b}{10}$ B、 $\frac{a - b}{10}$ C、 $\frac{b}{a}$ D、 $\frac{a b}{10}$

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5. 某同学在解方程 $5 x - 1 = () x + 3$ 时，把“（）”处的数看成了它的相反数，解得 $x = 2$ ，则该方程的正确解应为（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = \frac{1}{2}$ C、 $x = 2$ D、 $x = 1$

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6. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）

A、A点 B、B点 C、C点 D、D点

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7. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，以点 $B$ 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，分别以 $E$ ， $F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点 $P$ ，作射线 $B P$ ，交 $A D$ 于点 $G$ ，交 $C D$ 的延长线于点 $H .$ 若 $A B = A G = 4$ ， $G D = 5$ ，则 $C H$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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8. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与 $B D$ 相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交 $O C$ 于点N′，则PN-MN′的值为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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9. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 $S = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}$ ，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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10. 剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1} G_{1} H_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ，图中阴影部分面积 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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11. 数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 $| a - 2 | - | 2 - b | = | a - b |$ .下列四个选项中，有（）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
① ② ③ ④

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图， $P_{1} ~ P_{8}$ 是 $⊙ O$ 的八等分点. 若 $△ P_{1} P_{3} P_{7}$ ，四边形 $P_{3} P_{4} P_{6} P_{7}$ 的周长分别为 a， b，则下列判断正确的是（）

A、a<b B、a=b C、a>b D、a，b大小无法比较

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13. 已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与三角形内角和为180°矛盾．
②因此假设不成立，∠B<90°．
③假设在△ABC中，∠B≥90°．
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90° ，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（）

A、④③①② B、③④②① C、①②③④ D、③④①②

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14. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1L汽油最多可行驶的公里数，如图描述了A，B 两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（）
①消耗 1L汽油，A车最多可行驶5km；
②B车以40km/h的速度行驶 1h，最少消耗 4L 汽油；
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市驾驶 B车比驾驶A 车更省油.

A、①④ B、②③ C、②④ D、①③④

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15. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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16. 如图， $A B ， A C$ 分别是半圆O的直径和弦， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一个动点，连接AD．过点C作 $C E ⊥ A D$ 于E，连接 $B E$ ，则 $B E$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{13} - 2$ B、 $\sqrt{13} - 3$ C、2 D、3

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二、填空题

17. 如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为米（结果保留根号）．

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18. 如图 $1$ 所示，将一张长为 $2 m$ ，宽为 $n (m > n)$ 的长方形纸片沿虚线剪成 $4$ 个直角三角形，拼成如图 $2$ 的正方形 $A B C D$ （相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形 $A B C D$ 的面积为 $20$ ，中间空白处的正方形 $E F G H$ 的面积为 $4$ ，则：

(1)、m+n；

(2)、原长方形纸片的周长是（用m表示）．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ， $R t △ A B C$ 的顶点在 $y$ 轴的正半轴上，点 $B$ ，点 $C$ 在第一象限，且直角边 $A C$ 平行于 $x$ 轴，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0$ 且 $x > 0)$ 的图象经过点 $B$ 和边 $A C$ 的中点 $D$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题

20. 求证：当 $n$ 是整数时，两个连续奇数的平方差 $(2 n + 1)^{2} - (2 n - 1)^{2}$ 是这两个奇数的和的 $2$ 倍．

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21. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．

(1)、求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

(2)、预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？

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22. 某水果公司新进了

10000

千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中：

柑橘总质量（ $n$ /千克）	损坏柑橘质量（ $m$ /千克）	柑橘损坏的频率（ $\frac{m}{n}$ ）
$50$	$5.50$	$0.110$
$100$	$10.50$	$0.105$
$150$	$15.15$	$0.101$
$200$	$19.42$	$0.097$
$250$	$24.35$	$0.097$
$300$	$30.93$	$a$
$350$	$35.32$	$0.101$
$400$	$39.24$	$b$
$450$	$44.57$	$0.099$
$500$	$51.54$	$c$

(1)、写出

a =

▲

b =

▲

c =

▲ （精确到

0.001

）.

(2)、估计这批柑橘的损坏概率为 ▲ （精确到

0.1

）.

(3)、该水果公司以

2

元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润

5000

元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到

0.1

）.

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23. 已知 $y + 3$ 与 $x + 2$ 成正比例，且 $x = 2$ 时， $y = 7$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、将所得函数图象向上平移 $3$ 个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．

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24.

(1)、【感知】如图（1）已知四边形 $A B C D$ 是圆O的内接四边形， $A D = A B$ ，易知 $∠ D C A = ∠ A C B$ ．（不用证明）

(2)、【拓展】在【感知】的条件下， $B D$ 与 $A C$ 交于点E，已知 $A D = 4$ ， $A C = 10$ ，求 $A E$ 的长．

(3)、【应用】已知 $△ A B C$ 中 $A B = A C = 5$ ，点D为 $B C$ 中点，以 $A C$ 为斜边向上作等腰直角三角形，当 $A C$ 把 $△ A D E$ 的面积分为 $1 ： 2$ 两部分时， $D F =$ ．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x - 3 (a \neq 0)$ ．

(1)、求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

(2)、若 $a = 1$ ，当 $- 2 < x < 3$ 时，求y的取值范围；

(3)、已知 $A (2 a - 1 ， y_{1})$ ， $B (a ， y_{2})$ ， $C (a + 2 ， y_{3})$ 为该抛物线上的点，若 $(y_{1} - y_{3}) (y_{3} - y_{2}) > 0$ ，求a的取值范围．

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26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点 $A (x ， 0)$ ， $B (0 ， y)$ ，且 $x$ ， $y$ 满足 $| x - 6 | + (y - 2)^{2} = 0$ ．
图1 图2 图3

(1)、求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、如图1，以 $A B$ 为斜边构造等腰直角 $△ A B C$ ，请直接写出点 $C$ 的坐标；

(3)、如图2，已知等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 是腰 $A C$ 上的一点（不与 $A$ ， $C$ 重合），连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ ，垂足为点 $E$ ．
①若 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，求证： $B D = 2 A E$ ；
②探究：如图3，连接 $C E$ ，当点 $D$ 在线段 $A C$ 上运动时（不与 $A$ ， $C$ 重合）， $∠ B E C$ 的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．

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