2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-03-19 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 1 ， B C = 2$ ，那么 $c o s A$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$

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2. 如图，已知⊙O的圆心在原点，半径OA=1，设∠AOP=a（a<90°），其始边OA与x轴重合，终边与⊙О相交于点P，设点P的坐标为（x，y），⊙O的切线AT交OP于点T，且AT=m，则下列结论中，错误的是（）

A、 $s i n α = y$ B、 $c o s α = x$ C、 $t a n α = m$ D、 $x$ 与 $y$ 成反比例

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3. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA的值为(　　)

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{15}{17}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{15}{8}$

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $c o s C = \frac{C D}{A C}$ B、 $c o s C = \frac{A C}{B C}$ C、 $c o s C = \frac{A D}{A C}$ D、 $c o s C = \frac{A D}{A B}$

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5. 在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（）

A、不变 B、扩大5倍 C、缩小5倍 D、不能确定

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6. 如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角 $α$ 为30°，旗杆底部B的俯角 $β$ 为45°，则旗杆AB的高度为（）

A、 $3 \sqrt{2} m$ B、 $3 \sqrt{3} m$ C、 $(3 \sqrt{2} + 9) m$ D、 $(3 \sqrt{3} + 9) m$

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7. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为（　）

A、 $\frac{a}{\tan 26.5 °}$ B、asin26.5° C、acos26.5° D、 $\frac{a}{\cos 26.5 °}$

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8. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 13 ， B C = 12$ ，下列三角函数正确的是（）

A、 $s i n B = \frac{12}{13}$ B、 $c o s A = \frac{12}{13}$ C、 $t a n B = \frac{5}{12}$ D、 $c o s B = \frac{12}{5}$

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二、填空题

9. 计算： $s i n 3 0^{°} \cdot t a n 3 0^{°} + c o s 6 0^{°} \cdot t a n 6 0^{°} =$ .

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10. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA=

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11. 如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形.把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底面为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为cm³.

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12. 小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是cm．

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13. 如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C'，连结B'C并延长交AB于点D，当B'D⊥AB时， $\overset{⌢}{B B'}$ 的长是.

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三、解答题

14. 如图，在矩形ABCD中，AC为对角线， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点E.

(1)、求证： $∠ D A E = ∠ E D C$ ；

(2)、若 $B C = 8$ ， $t a n ∠ E D C = \frac{3}{4}$ ，求 $D E$ 的长.

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15. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，AC ， BC是弦，点D在AB的延长线上，且 $∠ D C B = ∠ D A C$ ， $⊙ O$ 的切线AE与DC的延长线交于点E.

(1)、求证：CD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为2， $∠ D = 30 °$ ，求AE的长.

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四、综合题

16. 如图， $A B$ 为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接 $A C$ ，点D为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过D作 $D E ∥ A C$ ，交 $O C$ 的延长线于点E.

(1)、求证： $D E$ 是半圆O的切线.

(2)、若 $O C = 3$ ， $C E = 2$ ，求 $A C$ 的长.

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17. 如图 $C D$ 是 $⊙ O$ 直径， $A$ 是 $⊙ O$ 上异于 $C$ ， $D$ 的一点，点 $B$ 是 $D C$ 延长线上一点，连 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ ，且 $∠ B A C = ∠ A D B$ ．

(1)、求证：直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 2 O C$ ，求 $t a n ∠ A D B$ 的值；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，作 $∠ C A D$ 的平分线 $A P$ 交 $⊙ O$ 于 $P$ ，交 $C D$ 于 $E$ ，连接 $P C$ 、 $P D$ ，若 $A B = 2 \sqrt{6}$ ，求 $A E \cdot A P$ 的值．

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2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练 基础题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数同步分层训练基础题