2023-2024学年初中数学人教版八年级下学期第十九章一次函数单元测试 B卷

试卷更新日期：2024-03-19 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 已知点 $A (- 2 ， a - 1)$ ， $B (- 1 ， a)$ ， $C (1 ， a)$ 在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（）

A、x＞4 B、x＜4 C、x＞3 D、x＜3

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3. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20 $m$ 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位： $m$ ）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示， $10 s$ 时，两架无人机的高度差为（）

A、10 $m$ B、15 $m$ C、20 $m$ D、25 $m$

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4. 直线y＝﹣ax+a与直线y＝ax在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 一次函数 $y = k x + b$ 与 $y = m x + n$ 的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A、 $b = - 1 ， n = 2$ B、这两个函数的图象与 $y$ 轴围成的三角形的面积为4. 5 C、关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = m x + n \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ D、当 $x$ 从0开始增加时，函数 $y = k x + b$ 比 $y = m x + n$ 的值先达到3

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6. 已知点 $(- 3 ， y_{1})$ 和点 $(- 5 ， y_{2})$ 在直线 $y = 2 x - 1$ 上，则（）

A、 $y_{1} = y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法判定

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7. 关于函数 $y = k x + k - 2$ ，给出下列说法正确的是：（）
①当 $k \neq 0$ 时，该函数是一次函数；
②若点 $A (m - 1 ， y_{1}) ， B (m + 3 ， y_{2})$ 在该函数图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $k > 0$ ；
③若该函数不经过第四象限，则 $k > 2$ ；
④该函数恒过定点 $(- 1 ， - 2)$ ．

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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8. 有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）

A、正比例函数关系 B、一次函数关系 C、二次函数关系 D、反比例函数关系

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9. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 $A (5 ， 0)$ ， $B (8 ， 4)$ ，点P是对角线OB上的一个动点， $D (0 ， 1)$ ，当 $C P + D P$ 最短时，点P的坐标为（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{6}{5} ， \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{10}{7} ， \frac{5}{7})$

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10. 如图所示，直线y= $\frac{3}{4}$ x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（）

A、y= $- \frac{1}{7}$ x+3 B、y= $- \frac{1}{5}$ x+3 C、y= $- \frac{1}{3}$ x+3 D、y= $- \frac{1}{9}$ x+3

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二、填空题

11. 直线 $y = x + 1$ 与直线 $y = m x + n$ 相交于点 $M (1 ， b)$ ，则关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 1 = y \\ y - m x = n \end{array}$ 的解为．

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12. 如图，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点B（3，0），与函数 $y = 2 x$ 的图象交于点A ，则不等式0＜ $k x + b < 2 x$ 的解集为．

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13. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣1与y＝ax（a≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 1 \\ a x - y = 0 \end{array}$ 的解是．

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14. 在如图所示的平面直角坐标系中，点 $P$ 是直线 $y = x$ 上的动点， $A (1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 是 $x$ 轴上的两点，当 $P A + P B$ 取最小值时， $S_{△ A B P} =$ ．

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15. 在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁O、正方形A₂B₂C₂C₁、正方形A₃B₃C₃C₂、正方形A₄B₄C₄C₃、…、正方形A_nB_n∁_nC_n_-₁按如图所示的方式放置，其中点A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， …，A_n均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C₁ ， C₂ ， C₃ ， C₄ ， …，∁_n均在x轴上．若点B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），则点A_n的坐标为．

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三、解答题

16. 如图，已知直线 $y = k x + b$ 的图象经过点 $A (0 ， - 4)$ ， $B (3 ， 2)$ ，且与x轴交于点C ．

(1)、求直线 $y = k x + b$ 的解析式；

(2)、求 $△ B O C$ 的面积．

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17. 现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重（ $k g$ ）与人体身高（m）平方的商．对于成年人来说，身体质量指数低于18.5，体重过轻；身体质量指数在18.5~25范围内，体重适中；身体质量指数高于25，体重超重或肥胖．

(1)、设一个人的体重为w（ $k g$ ），身高为h（m），则他的身体质量指数p为．（用含w ， h的式子表示）

(2)、李老师的身高是 $1 ． 70 m$ ，体重是 $60 k g$ ，他的体重是否适中？

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18. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于A，B两点，点 $A$ 的坐标为 $(6 ， 0)$ .在 $x$ 轴的负半轴上有一点 $C (- 4 ， 0)$ ，直线AB上有一点 $D$ ，且 $C D =$ OD

(1)、求b的值及点 $D$ 的坐标.

(2)、在线段AB上有一个动点 $P$ ，点 $P$ 的横坐标为 $a$ ，作点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点 $Q$ ，当点 $Q$ 落在 $△ C D O$ 内（不包括边界）时，求 $a$ 的取值范围.

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四、实践探究题

19. 先阅读下列材料，然后解决问题：
【阅读感悟】
在平面直角坐标系中，已知点 $Q (t - 2 ， t + 3)$ ，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x ，纵坐标y ，得到了方程组 ${\begin{array}{l} t - 2 = x \\ t + 3 = y \end{array}$ 消去t ，得 $y - x = 5$ ，即 $y = x + 5$ ，可以发现，点 $Q$ 随t的变化而运动所形成的图象的解析式是 $y = x + 5$ ．

(1)、【尝试应用】
观察下列四个点的坐标，不在函数 $y = - x + 4$ 图象上的是____.

A、 $M (1 ， 3)$ B、 $N (t ， t - 4)$ C、 $P (4 - t ， t)$ D、 $P (2 t ， 4 - 2 t)$

(2)、求点 $M (3 - t ， 2 t - 7)$ 随t的变化而运动所形成的图象的解析式；

(3)、【综合运用】
如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 4$ 的图象上运动．已知点 $A (3 ， 0)$ 为定点，连接 $P A$ ，过点A作直线 $B A ⊥ P A$ ，且 $B A = P A$ ，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式．

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20. 【模型介绍】
如图 $1$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ A C$ 于点 $C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．则 $△ A B C ≌ △ D A E$ ．我们把这个数学模型称为“ $K$ 字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
在平面直角坐标系中，直线 $y = - 2 x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、如图 $2$ ，将直线 $y = - 2 x + 4$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45 °$ ，得到直线 $l$ ，求直线 $l$ 的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点 $A$ 作 $A B$ 的垂线交 $l$ 于点 $C$ ，再过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $D$ ，可求出点 $C$ 的坐标为，从而求得直线 $l$ 的表达式为．

(2)、若将直线 $y = - 2 x + 4$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ ，所得直线的表达式为．

(3)、点 $P$ 是线段 $O B$ 上的一个动点，点 $Q$ 是线段 $A B$ 上一动点，若 $△ A P Q$ 是等腰直角三角形，且 $∠ A P Q = 90 °$ ，则点 $Q$ 的坐标是．

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五、综合题

21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正比例函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2 ， 4)$ ，过点A的直线 $y = k x + b (0 < k < 2)$ 与x轴、y轴分别交于B ， C两点．

(1)、求正比例函数的表达式；

(2)、若 $△ A O B$ 的面积为 $△ B O C$ 的面积的 $\frac{4}{3}$ 倍，求直线 $y = k x + b$ 的表达式；

(3)、在（2）的条件下，在线段 $B C$ 上找一点D ，使 $O C$ 平分 $∠ A O D$ ，求点D的坐标．

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22. 如图，直线l₁：y＝x＋3与过点A（3，0）的直线l₂交于点C（1，m），与x轴交于点B．

(1)、求直线l₂的解析式；

(2)、点M在直线l₁上，MN∥y轴，交直线l₂于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

(3)、在x轴上是否存在点P，使以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 2 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，点C在y轴的负半轴上，连接 $A C ， B C$ ，满足 $∠ A C O = ∠ O A C$ ．

(1)、求直线 $B C$ 的解析式；

(2)、已知直线 $l_{1} ： y = \frac{3}{2} x + b$ 经过点B ．
①若点D为直线 $l_{1}$ 上一点，若 $S_{△ B C D} = S_{△ A B C}$ ，求点D的坐标；
②过点O作直线 $l_{2} ∥ B C$ ，若点M、N分别是直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上的点，且满足 $∠ A C O = ∠ M N B$ ．请问是否存在这样的点 $M 、 N$ ，使得 $△ M B N$ 为直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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2023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十九章 一次函数 单元测试 B卷

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二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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