浙江省绍兴市越城区元培中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-18 类型：期末考试

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一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．）

1. 2024年1月8日，北京、哈尔滨、杭州、绍兴四地的最低气温分别为 $- 9 ° C$ ， $- 25 ° C$ ， $2 ° C$ ， $3 ° C$ ，则这一天四地最低气温是（）

A、 $- 9 ° C$ B、 $- 25 ° C$ C、 $2 ° C$ D、 $3 ° C$

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2. 已知算式“ $5 ■ (- 5)$ ”的值为 $- 1$ ， “ $■$ ”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（）

A、 $+$ B、 $-$ C、 $\times$ D、 $\div$

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3. 绍兴奥体中心体育馆是第19届杭州亚运会篮球项目比赛场馆，其总建筑面积为72010平方米．则数72010用科学记数法表示为（）

A、 $7.201 \times 1 0^{3}$ B、 $7.201 \times 1 0^{4}$ C、 $0.7201 \times 1 0^{5}$ D、 $72.01 \times 1 0^{3}$

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4. 如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中 $∠ α$ 和 $∠ β$ 不一定相等的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. “ $x$ 的3倍与 $y$ 的 $\frac{1}{3}$ 的和”用代数式可表示为（）

A、 $3 y + \frac{1}{3} x$ B、 $3 x + \frac{1}{3} (x + y)$ C、 $3 x + \frac{1}{3} y$ D、 $3 x + y + \frac{1}{3}$

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6. 解方程 $\frac{3 x - 1}{3} = 1 - \frac{4 x - 1}{6}$ 时，去分母后正确的是（）

A、 $2 (3 x - 1) = 1 - 4 x - 1$ B、 $2 (3 x - 1) = 1 - 4 x + 1$ C、 $2 (3 x - 1) = 6 - 4 x - 1$ D、 $2 (3 x - 1) = 6 - 4 x + 1$

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7. 已知二元一次方程 $2 x + 3 y = 2$ ，用含 $y$ 的代数式表示 $x$ ，正确的是（）

A、 $x = \frac{2 - 3 y}{2}$ B、 $x = \frac{2 + 3 y}{2}$ C、 $y = \frac{2 - 2 x}{3}$ D、 $y = \frac{2 + 2 x}{3}$

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8. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》是《算经十书》之一．书中记载了这样一个问题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量长木，长木还余1尺．则木长为（）尺．

A、5 B、 $5.5$ C、6 D、 $6.5$

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9. 实数 $\sqrt{23} - 1$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则 $2 a + 3 b =$ （）

A、 $3 \sqrt{23} - 7$ B、 $2 \sqrt{23} + 1$ C、 $3 \sqrt{23} - 6$ D、 $3 \sqrt{23} - 12$

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10. 如图，将两块三角板的直角 $∠ A O B$ 与 $∠ C O D$ 的顶点 $O$ 重合在一起，绕点 $O$ 转动三角板 $A O B$ ，使两块三角板仍有部分重叠，且 $∠ A O D = 3 ∠ B O D$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分．请将本题答案用签字笔或钢笔写在答题卡对应答题区域内）

11. 单项式 $- 3 x y^{2}$ 的系数是.

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12. 已知 $x = - 2$ 是一元一次方程 $5 - a x = x$ 的解，则 $a =$ ．

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13. 如图，实数 $1 - \sqrt{2}$ 在数轴上的对应点可能是点．

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14. 新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土 $5 m^{3}$ 或运土 $3 m^{3}$ ．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配 $x$ 人挖土， $y$ 人运土．为求 $x$ ， $y$ ，小聪正确地列出了其中一个方程 $x + y = 96$ ，你所列的另一个方程为．

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15. 如图，已知线段 $A B = a$ ，延长 $B A$ 至点 $C$ ，使 $A C = \frac{1}{3} A B$ ． $D$ 为线段 $B C$ 的中点，则 $A D$ 的长为．（用含 $a$ 的代数式表示）．

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16. 已知 $a - b = \sqrt{2}$ ， $a - c = 2$ ，则代数式 ${(b - c)}^{2} + (b - c) + 4 =$ ．

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17. 电影《哈利·波特》中，哈利·波特穿墙进入“ $3 \frac{3}{4}$ 站台”的镜头（如图中的A站台），构思巧妙，给观众留下了深刻的印象．若B ， C分别称为“ $- 2$ 站台”和“ $- 3$ 站台”，且 $C D = 4 B D$ ，则D站台用类似电影中的方法可称为“站台”．

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18. 已知线段 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ （不与端点重合）， $O E$ 平分 $∠ A O D$ ， $O F ⊥ C D$ 于点 $O$ ，若 $∠ A O C ： ∠ A O E = 1 ： 2$ ，则 $∠ B O F$ 的度数为．

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三、解答题（本大题有6小题，共46分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）

19. 计算：

(1)、 $4 - 3 \times 2^{2}$

(2)、 $- 2^{2} \div \frac{2}{3} \times {(- \frac{2}{3} + 1)}^{2}$

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20. 已知A+2B=3a²-4ab，B=-5a²+6ab-7．

(1)、用含有a，b的代数式表示A．

(2)、当a=-1，b=-2时，求A的值．

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21. 一根金属棒在 $0 ° C$ 时的长度是 $q (m)$ ，温度每升高 $1 ° C$ ，它就伸长 $p (m)$ ．当温度为 $t (° C)$ 时，金属棒的长度 $l$ 可用公式 $l = p t + q$ 计算．已测得当 $t = 100 ° C$ 时， $l = 2.002 m$ ；当 $t = 400 ° C$ 时， $l = 2.008 m$ ．

(1)、求 $p$ ， $q$ 的值．

(2)、若这根金属棒的温度是 $1200 ° C$ ，则此时金属棒的长度是多少？

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22. 我们知道分数 $\frac{1}{3}$ 写为小数形式即 $0 . \dot{3}$ ；反过来，无限循环小数 $0 . \dot{3}$ 写为分数形式即为 $\frac{1}{3}$ ．
一般地，任何一个无限循环小数都可以写成一个分数的形式．
例：将 $0 . \dot{7}$ 化为分数形式．
设 $0 . \dot{7} = x$ ，由 $0 . \dot{7} = 0.777 ⋯$ 可知， $10 x = 7.77 ⋯$ ，所以 $10 x - x = 7$ ，解得 $x = \frac{7}{9}$ ．
于是得 $0 . \dot{7} = \frac{7}{9}$ ．
根据以上阅读材料，回答下列问题（以下计算结果都用最简分数表示）：

(1)、【理解】 $0 . \dot{5} =$ ．

(2)、【迁移】将 $0 . \dot{2} \dot{3}$ 化为分数形式，写出推导过程（温馨提示： $0 . \dot{2} \dot{3} = 0.232323 ⋯$ ，它的循环节有两位）．

(3)、【创新】若已知 $0 . \dot{4} 2857 \dot{1} = \frac{3}{7}$ ，则 $5 . \dot{7} 1428 \dot{5} =$ ．

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23. 一家电信公司推出如下两种移动电话计费方式：

类别	计费方式
计费方式 $A$	每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分钟部分按每分钟 $0.25$ 元加收通话费．
计费方式 $B$	每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分钟部分按每分钟 $0.20$ 元加收通话费．

(1)、若一个月通话时间为250分钟，则

A

，

B

两种计费方式相差多少元？

(2)、小敏爸爸选用计费方式

A

，小聪爸爸选用计费方式

B

，他们一个月里通话时间正好相同，但他俩的通话费用却相差25元．试求出他俩一个月的实际通话时间．

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24. 定义：若线段上的一个点把这条线段分成 $1 ： 2$ 的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2

(1)、如图1，点 $M$ 是线段 $A B$ 的一个三等分点，满足 $B M = 2 A M$ ，若 $A B = 9 c m$ ，则 $A M =$ $c m$ ．

(2)、如图2，已知 $A B = 9 c m$ ，点 $C$ 从点 $A$ 出发，点 $D$ 从点 $B$ 出发，两点同时出发，都以每秒 $\frac{2}{3} c m$ 的速度沿射线 $A B$ 方向运动 $t$ 秒．
①当 $t$ 为何值时，点 $C$ 是线段 $A D$ 的三等分点．
②在点 $C$ ，点 $D$ 开始出发的同时，点 $E$ 也从点 $B$ 出发，以每秒 $x c m$ 的速度沿射线 $B A$ 方向运动，在运动过程中，点 $C$ ，点 $E$ 分别是 $A E$ ， $A D$ 的三等分点，请直接写出 $x$ 的值．

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四、思维拓展题：（本题有4小题，共10分．成绩计入总分，但全卷满分不超过100分．）

25. 已知 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，则代数式 $\frac{x^{4}}{x^{3} + x + 1}$ 的值为（）

A、3 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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26. 如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{4} π (b^{2} - a^{2})$ B、 $\frac{1}{8} π (b^{2} - a^{2})$ C、 $\frac{1}{4} π (2 a b - b^{2})$ D、 $\frac{1}{8} π (2 a b - b^{2})$

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27. 某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生人．

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28. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为正整数，且 $a > b > c$ 若 $b + c$ ， $a + c$ ， $a + b$ 是三个连续正整数的平方，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值为．

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