广东省河源市连平县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-18 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（）

A、17 B、16 C、15 D、13

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2. 点 $(3 ， - 5)$ 在正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的图象上，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 15$ B、 $15$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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3. 一块圆形蛋糕的直径长为 $\sqrt{15} c m$ ，估计 $\sqrt{15}$ 的值在（）

A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间

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4. 如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机 $B$ ， $C$ 所在直线为 $x$ 轴、队形的对称轴为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系.若飞机 $D$ 的坐标为 $(- 40 ， - a)$ ，则飞机 $E$ 的坐标为（）

A、 $(40 ， - a)$ B、 $(- 40 ， a)$ C、 $(- 40 ， - a)$ D、 $(a ， - 40)$

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5. 如图，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在数轴上，点A表示数0，点 $B$ 表示数4， $A D = 2$ ．以点A为圆心， $A C$ 长为半径作弧，与数轴正半轴交于点 $E$ ，则点 $E$ 表示的数为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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6. 下列运算一定正确的是（）

A、 $\sqrt{7^{2}} = \pm 7$ B、 $(\sqrt[3]{- 7})^{3} = 7$ C、 $(- \sqrt{7})^{2} = 7$ D、 $- \sqrt{(- 7)^{2}} = 7$

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7. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与 $y = x + 2$ 的图象相交于点 $P (m ， 4)$ ，则关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{cases} k x - y = - b \\ y - x = 2 \end{cases}$ 的解是（）

A、 ${\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x = 1.8 \\ y = 4 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x = 2.4 \\ y = 4 \end{cases}$

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8. 小红同学每天自己在家里练习做一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她一个星期内做仰卧起坐的个数： $30$ 、 $28$ 、 $25$ 、 $30$ 、 $27$ 、 $30$ 、 $26$ .则下列关于小红同学一个星期做仰卧起坐的个数的中位数、众数、平均数和方差的说法不正确的是（）

A、中位数是30 B、众数是30 C、平均数是28 D、方差是 $\frac{26}{7}$

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9. 如图，分别过 $△ A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ 作 $A D / / B E$ .若 $∠ C A D = 25 °$ ， $∠ E B C = 80 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $75 °$ C、 $85 °$ D、 $95 °$

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10. 对于函数 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ ，下列结论正确的是（）

A、它的图象必经过点 $(1 ， 0)$ B、它的图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0 ， 2)$ C、当 $x > 3$ 时， $y > 0$ D、 $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11. 在平面直角坐标系中，点 $P (- 3 ， - 2)$ 所在象限是第象限．

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12. 若 $| a - 1 | + （ b - 3 ）^{2} = 0$ ，则 $\sqrt{a + b}$ = ．

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13. 如图是甲、乙两位选手 $6$ 次投篮测试（每次投篮 $10$ 个）成绩的统计图，我们可以判断选手的成绩更稳定．（填甲或乙）

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， D为垂足， $A B = 5$ ， $B D = 3$ ， $C D = A D$ ，则 $A C =$ ．

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15. 一个函数过点 $(1 ， 3)$ ，且 $y$ 随 $x$ 增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数表达式.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，若 $D E / / B C$ ， $F G / / B C$ ， $∠ B D E = 120 °$ ， $∠ D F G = 115 °$ ，则 $∠ C =$ .

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三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.

17. 计算： $\sqrt{25} + \sqrt[3]{- 27} + | - 7 | + (- 1)^{2024}$ .

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18. 解二元一次方程组： ${\begin{array}{l} x - y = 1 ， \\ 3 x + 2 y = 8 . \end{array}$

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 3 ， - 2)$ ，若点 $C$ 在 $y$ 轴右侧， $B C / / x$ 轴且 $B C = 4$ .

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、在图中画出 $△ A B C$ ，并求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，连接 $A P$ ，当线段 $A P$ 长度最小时，点 $P$ 的坐标为，依据是.

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20. 如图， $A B = A C$ ， $C D ⊥ A B$ ， $B E ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $D$ ，点 $E$ .

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ；

(2)、若 $A E = 6$ ， $C D = 8$ ，求 $B D$ 的长.

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.

21. 已知：如图，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 都在 $△ A B C$ 的边上， $D E / / A C$ ， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ，

(1)、求证： $A D / / F G$ ；

(2)、若 $D E$ 平分 $∠ A D B$ ， $∠ C = 40 °$ ，求 $∠ B F G$ 的度数.

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22. 某校八年级（1）班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷.在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数 $x$ （次/分钟），分为如下五组： $A$ 组： $50 \leq x < 75$ ， $B$ 组： $75 \leq x < 100$ ， $C$ 组： $100 \leq x < 125$ ， $D$ 组： $125 \leq x < 150$ ， $E$ 组： $150 \leq x < 175$ .
其中 $A$ 组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56.
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

(1)、 $A$ 组数据的中位数是次，众数是次；

(2)、 $C$ 组频数是，在统计图中 $B$ 组所对应的扇形圆心角是度：

(3)、一般运动的适宜心率为 $100 \leq x < 150$ （次/分钟），该校共有2200名学生，依据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率.

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23. 根据气象研究，在最接近地球表面的对流层内，从海平面向上每升高 $1 k m$ ，气温降低 $5 ℃$ ，而在对流层之上的平流层下层（又称同温层）内，气温基本保持不变.已知海平面气温为 $m ℃$ ，设海拔 $x (k m)$ 处气温为 $y (℃)$ .

(1)、当 $m = 23$ 时，请直接写出在对流层内 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、已知我国南海海域对流层高度为 $15 k m$ ，我空军某部飞行员驾驶J-20战斗机在南海海域巡逻，根据仪表显示，机舱外温度为 $- 20 ℃$ 时，战机巡航海拔高度为 $8 k m$ ，求此时该战机下方海面气温；

(3)、在（2）的条件下，若战机继续攀升至海拔 $18 k m$ 处（处于平流层下层），求此时机舱外温度.

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

24. 问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 $100 c m$ ，宽为 $50 c m$ 的长方形地毯上爬行，地毯上放着一根正三棱柱形（底面为等边三角形的直棱柱）的木块，它的侧棱平行且等于场地宽 $A D$ ，木块从正面看是一个边长为 $20 c m$ 的等边三角形，求一只蚂蚁从点 $A$ 处到达点 $C$ 处需要走的最短路程.
图① 图②

(1)、数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接 $A C$ .

(2)、线段 $A C$ 的长即为蚂蚁从点 $A$ 处到达点 $C$ 处需要走的最短路程，依据是；

(3)、问题解决：求出这只蚂蚁从点 $A$ 处到达点 $C$ 处需要走的最短路程.

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25. 如图1，已知直线 $A B ： y = k x + \frac{3}{2}$ 与直线 $A C ： y = - 2 x + b$ 交于点 $A (1 ， 2)$ ，两直线与 $x$ 轴分别交于点 $B$ 和点 $C$ .
图1 图2 备用图

(1)、求直线 $A B$ 和 $A C$ 的函数表达式；

(2)、直线 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，求四边形 $A F O C$ 的面积；

(3)、如图2，点 $P$ 为线段 $B C$ 上一动点，将 $△ A B P$ 沿直线 $A P$ 翻折得到 $△ A P D$ ，线段 $A D$ 交 $x$ 轴于点 $E$ .当 $△ D P E$ 为直角三角形时，请直接写出点 $P$ 的坐标.

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