2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第四章）培优卷

试卷更新日期：2024-03-16 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）

A、 $(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$ B、 $a^{2} - 4 a + 4 = a (a - 4) + 4$ C、 $5 a x^{2} - 5 a y^{2} = 5 a (x + y) (x - y)$ D、 $a^{2} - 2 a - 8 = (a - 2) (a + 4)$

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2. 下列因式分解正确的是（）

A、 $2 a^{2} - 4 a + 2 = 2 {(a - 1)}^{2}$ B、 $a^{2} + a b + a = a (a + b)$ C、 $4 a^{2} - b^{2} = (4 a + b) (4 a - b)$ D、 $a^{3} b - a b^{3} = a b {(a - b)}^{2}$

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3. 因式分解x²+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值为（）

A、1 B、4 C、11 D、12

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4. 若 $4 x^{2} + k x + 25 = {(2 x + a)}^{2} ，$ 则k+a的值可以为（）

A、-25 B、-15 C、15 D、20

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5. 利用因式分解计算 $2023^{2} + 2023 - 2024^{2}$ 的结果是（）

A、2023 B、-2023 C、2024 D、-2024

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6. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 1$ B、 $x^{2} + 2 x$ C、 $x^{2} + 2 x + 1$ D、 $x^{2} - 2 x - 1$

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7. 若三角形的三条边长分别为a，b，c且a²b-a²c+b²c-b³=0 ，则这个三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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8. 把多项式 $2 x^{2} + m x - 5$ 因式分解成 $(2 x + 5) (x - n)$ ，则m的值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、5 D、7

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9. 已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x²－4，乙与丙相乘为x²＋15x－34，则甲与丙相加的结果为（）

A、2x＋19 B、2x－19 C、2x＋15 D、2x－15

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10. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴ ，则它的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 分解因式： $b^{4} - b^{2} - 12 =$

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12. 若 $m^{2} = n + 2023 ， n^{2} = m + 2023$ ，且 $m \neq n$ ，则代数式 $m^{3} - 2 m n + n^{3}$ 的值为．

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13. 已知x²+y²- 2x+6y+ 10=0，则x+y=.

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14. 阅读材料回答问题：已知多项式 $2 x^{3} - x^{2} + m$ 有一个因式是 $2 x + 1$ ，求 $m$ 的值．
解法：设 $2 x^{3} - x^{2} + m = A (2 x + 1) (A$ 为整式 $)$
$∵$ 上式为恒等式，
$∴$ 当 $x = - \frac{1}{2}$ 时， $2 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - (- \frac{1}{2})^{2} + m = A \cdot (- \frac{1}{2} \times 2 + 1)$ ，
即 $2 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - (- \frac{1}{2})^{2} + m = 0$ ．
解得： $m = \frac{1}{2}$ ．
若多项式 $x^{4} + m x^{2} + n x - 16$ 含有因式 $(x - 1)$ 和 $(x - 2)$ ，则 $m n =$ ．

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15. 甲乙两个同学分解因式x²+ax+b时，甲看错了b ，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝．

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16. 如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a²b+ab²的值为．

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 分解因式

(1)、 $12 x y z - 9 x^{2} y^{2}$

(2)、 $x^{2} (y - 4) + 9 (4 - y)$

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18. 小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
$(30 x^{4} y^{2} + M + 12 x^{2} y^{2}) \div (- 6 x^{2} y) = N + 3 x y - 2 y .$

(1)、请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.

(2)、小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式 $x^{2} y + x y + y$ 相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解? 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.

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19. 观察下列分解因式的过程： $x^{2} + 2 x y - 3 y^{2}$
解：原式 $= x^{2} + 2 x y + y^{2} - y^{2} - 3 y^{2}$
$= (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 4 y^{2}$
$= {(x + y)}^{2} - {(2 y)}^{2}$
$= (x + y + 2 y) (x + y - 2 y)$
$= (x + 3 y) (x - y)$
像这种通过增减项把多项式转化成适当的完全平方形式的方法，在代数计算与推理中往往能起到巧妙解题的效果.

(1)、请你运用上述方法分解因式： $x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}$ ；

(2)、若 $M = 2 (3 x^{2} + 3 x + 1)$ ， $N = 4 x^{2} + 2 x - 3$ ，比较M、N的大小，并说明理由；

(3)、已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，三边长a ， b ， c满足 $c^{2} + 25 = 8 a + 6 b$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.

(1)、根据图2完成因式分解： $2 a^{2} + 2 a b =$ ；

(2)、现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为；（用含 $a ､ b$ 的式子表示）

(3)、图1中的1号和2号卡片所占面积之和为 $S_{1}$ ，两个3号卡片所占面积之和为 $S_{2}$ ，求证： $S_{1} - S_{2} ⩾ 0$ ．

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21. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x＋y）²＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m²＋2m＋1＝（m＋1）²
再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)、因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）²＝；

(2)、因式分解：9（x-2）²-6（x-2）＋1

(3)、因式分解：（x²-6x）（x²-6x＋18）＋81

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22. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ 因式分解的结果为 $(x - 1) (x + 1) (x + 2)$ ，当 $x = 18$ 时， $x - 1 = 17$ ， $x + 1 = 19$ ， $x + 2 = 20$ ，此时可以得到六位数的数字密码171920．

(1)、根据上述方法，当 $x = 21$ ， $y = 7$ 时，对于多项式 $x^{3} - x y^{2}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）

(2)、若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式 $x^{3} y + x y^{3}$ 分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；

(3)、若多项式 $x^{3} + (m - 3 n) x^{2} - n x - 21$ 因式分解后，利用本题的方法，当 $x = 27$ 时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．

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23. 阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解 $x^{3} - 1$ ．
因为 $x^{3} - 1$ 为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想 $x^{3} - 1$ 可以分解成 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + a x + b)$ ，展开等式右边得：
$x^{3} + (a - 1) x^{2} + (b - a) x - b$ ，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等： $a - 1 = 0$ ， $b - a = 0$ ， $- b = - 1$ ，可以求出 $a = 1$ ， $b = 1$ ．
所以 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

(1)、若 $x$ 取任意值，等式 $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + (3 - a) x + 3$ 恒成立，则 $a =$ ；

(2)、已知多项式 $x^{4} + x^{2} + 1$ 有因式 $x^{2} + x + 1$ ，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．

(3)、请判断多项式 $x^{4} - x^{2} + 1$ 是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．

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