高考数学复习：糖水不等式

试卷更新日期：2024-03-16 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知 $b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖 $(b > a > 0)$ ，再添加 $m$ 克糖 $(m > 0) ($ 假设全部溶解 $)$ ，糖水变甜了 $.$ 将这一事实表示成一个不等式为（）

A、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b}$ B、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$ C、 $\frac{a + m}{b + m} < \frac{a}{b}$ D、 $\frac{a}{b + m} < \frac{a}{b}$

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2. $a$ 克糖水中含有 $b$ 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 $\frac{b}{a}$ ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加 $m$ 克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a} (a > b > 0 ， m > 0)$ ，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（）

A、 $l o g_{8} 5 < l o g_{16} 10$ B、 $\frac{l g 7 + l g 11}{1 + l g 7 + l g 11} > \frac{l g 7}{1 + l g 7} + \frac{l g 11}{1 + l g 11}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}} < \frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{11} - 2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} < \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{3} + 2}$

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3. 在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖 $(a > b > 0)$ ，再添加m克糖（ $m > 0$ ，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{b + m}{a + m}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$

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4. 在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知 $a$ 克糖水中含有 $b$ 克糖( $a > b > 0$ )，再添加 $m$ 克糖( $m > 0$ )(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ C、 $\frac{a}{b} > \frac{a + m}{b + m}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$

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5. $a$ 克糖水中含有 $b$ 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 $\frac{b}{a}$ ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加 $m$ 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ( $a > b > 0$ ， $m > 0$ ).若 $x_{1} = \log_{3} 2$ ， $x_{2} = \log_{15} 10$ ， $x_{3} = \log_{45} 20$ ，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ C、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$

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6. 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 $c = \frac{糖的质量 b 克}{糖水的质量 a 克} (a > b)$ ，向糖水（不饱和）中再加入 $m$ 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a}$

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二、多项选择题

7. 生活经验告诉我们， $a$ 克糖水中有 $b$ 克糖 $（ a > 0 ， b > 0$ ，且 $a > b ）$ ，若再添加 $c$ 克糖 $（ c > 0 ）$ 后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ . 趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）

A、若 $a > b > 0 ， m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m}$ 与 $\frac{b}{a}$ 的大小关系随 $m$ 的变化而变化 B、若 $a > b > 0 ， m < 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ C、若 $a > b > 0 ， c > d > 0$ ，则 $\frac{b + d}{a + d} < \frac{b + c}{a + c}$ D、若 $a > 0 ， b > 0$ ，则一定有 $\frac{a}{1 + a + b} + \frac{b}{1 + a + b} < \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$

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8. 已知 $b$ 克糖水中有 $a$ 克糖 $(b > a > 0)$ ，若再添加 $m$ 克糖 $(m > 0)$ ，则糖水变得更甜.对于 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，下列不等式正确的有：（）

A、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$ B、 $\frac{a}{b} > \frac{a - m}{b - m}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + b m}{b + a m}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a - b m}{b - a m}$

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三、填空题

9. 若 $a$ 克不饱和糖水中含有 $b$ 克糖，则糖的质量分数为 $\frac{b}{a}$ ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 $m$ 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ( $a > b > 0$ ， $m > 0$ )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 $\log_{3} 2$ $\log_{15} 10$ (用“ $<$ ”或“ $>$ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

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10. 已知 $a > b > 0, m > 0$ ，类比于我们学习过的“糖水加糖甜更甜”的原理，提炼出“向一杯糖水中加入水，则糖水变淡了”的不等关系式为

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11. 已知 $b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖（ $b > a > 0$ ），再添加 $m$ 克糖（ $m > 0$ ）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式．

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12. b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为

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13. 已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），若再添加m克糖（m＞0），则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式

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四、解答题

14. 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式： $\frac{y}{x} < \frac{y + m}{x + m} (x > y > 0 ， m > 0)$ ．

(1)、证明榶水不等式；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 是三角形的三边，求证： $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} < 2$ ．

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15. 日常生活中，在一杯含有 $a$ 克糖的 $b$ 克糖水中，再加入 $m$ 克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.

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