2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期第二十七章相似单元测试 B卷

试卷更新日期：2024-03-15 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 若 $\frac{x}{y}$ = $\frac{4}{5}$ ，则 $\frac{2 x - y}{x + y}$ 的值为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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2. 如图， $Δ A B C$ 和△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似三角形，若 $C_{1}$ 为 $O C$ 的中点， $S_{△ A_{1} B_{1} C_{1}} = 3$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A、15 B、12 C、9 D、6

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3. 如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知 $D E ∥ A C$ ， $E F ∥ A B$ ， $A F = 1.8$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $A C = 3$ B、 $C E = 3$ C、 $D E = 1.8$ D、 $E F = 4$

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4. 如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m，通过测量知道BC的距离为1.5 m，则路灯AB的高度是（）

A、3 m B、3.6 m C、4.5 m D、6 m

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5. 如图，已知 $A B / / C D / / E F ， A D = 3 ， B C = 4 ， D F = 5$ ，则 CE的长为（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、 $\frac{20}{3}$ C、6 D、 $\frac{15}{4}$

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6. 下列说法中正确的是（）

A、两个面积相等的三角形是全等三角形 B、三个对应角都相等的三角形是全等三角形 C、两个周长相等的三角形是全等三角形 D、两个完全重合的三角形是全等三角形

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7. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与 $B D$ 相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交 $O C$ 于点N′，则PN-MN′的值为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为12，E是 $A B$ 中点，F是对角线 $A C$ 上一点，且 $\frac{A F}{A C} = \frac{1}{3}$ ，在 $C D$ 上取点G，使得 $∠ F E G = 45 °$ ， $E G$ 交 $A C$ 于H，则 $C H$ 的长为（）

A、4 B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$

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9. 如图，在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足 $B C = 3 C M$ ，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得 $N P = B N$ ，则 $\frac{D P}{B N} =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{9}{10}$

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10. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D ， E分别是 $A C$ ， $B C$ 边上的点，且 $A D = C E$ ，连接 $B D$ ， $A E$ 相交于点F ，则下列说法正确的是（）
① $△ A B D ≌ △ C A E$ ； ② $∠ B F E = 60 °$ ；③ $△ A F B ∽ △ A D F$ ；④若 $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{A F}{B F} = \frac{1}{2}$

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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二、填空题

11. 若 $5 a = 3 b (a 、 b$ 均不为0)，那么 $b ： a =$ .

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12. 数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为米.

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13. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE=1，若S_△ABC＝2，则S_△DOF＝．

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14. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，点 $B$ 在 $y$ 轴负半轴上， $A B$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，若 $A C$ ： $B C = 5$ ： $3$ ， $S_{△ A O C} = 3$ ，则 $k$ 的值为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C > A B$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $B E$ 是 $A C$ 边的中线， $C F$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线， $C F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，交 $B E$ 于点 $H$ .
① $S_{△ A B E} = S_{△ B C E}$ ；② $A F = A G$ ；③ $∠ A B E = ∠ A E B$ ；④ $\frac{A C}{A F} = \frac{C F}{B F}$ .
其中一定正确的是.（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

16. 已知：如图，四边形ABCD中， $∠ B A D = ∠ B C D$ $= 9 0^{°} ， E$ 为对角线BD的中点，点 $F$ 在边AD上，CF交BD于点 $G ， C F / / A E ， C F = \frac{1}{2} B D$ .

(1)、求证：四边形AECF为菱形；

(2)、 $∠ D C G = ∠ D E C$ ，求证： $A E^{2} = A D \cdot D C$ .

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17. 如图，点 $D ， E ， F$ 分别在 $△ A B C$ 三边上，且 $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B ， B D = 3 A D ， B C = 8$ ．

(1)、求 $C F$ 的长；

(2)、若 $△ A D E$ 的面积为4，求四边形 $B D E F$ 的面积．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 边上一点， $∠ E A B = ∠ E B C$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ ∽ $△ B E C$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $D E = 3$ ，求 $B E$ 的长．

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四、实践探究题

19. 如图
【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题：
如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是边AB、BC上的点，且AE＝BF．

(1)、如图2，连接CE、DF交于点G，H为GE的中点，连接DH，FH．当E为AB的中点时，四边形CDHF的面积为；

(2)、如图3，连接DE、DF，当点E在边AB上运动时，DE+DF的最小值为．

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20. 【阅读】如图1，若△ABD∽△ACE ，且点B ， D ， C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE称为旋转相似三角形．

(1)、【理解】如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE ．求证：△ABD与△ACE是旋转相似三角形．

(2)、【应用】如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE ，求证：AC＝DE ．

(3)、【拓展】如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD ， BC＝25，AC＝20，AD＝16，试在边BC上确定一点E ，使得四边形AECD是矩形，并说明理由．

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21. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：

项目主题：测量旗杆高度

问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？

组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．

成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：

	方案一		方案二		…
测量工具	标杆，皮尺		自制直角三角板硬纸板，皮尺		…
测量示意图	说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上．		说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据	B，D之间的距离	16.8m	B，D之间的距离	16.8m	…
	D，F之间的距离	1.35m	EF的长度	0.50m	…
	EF的长度	2.60m	CE的长度	0.75m	…
…	…

根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；

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五、综合题

22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点D， $∠ A D C$ 的平分线 $D E$ 交 $A C$ 于点E．以 $A D$ 上的点O为圆心， $O D$ 为半径作 $⊙ O$ ，恰好过点E．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 12$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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23. 在 $△ A B C$ 中，D为AB边上一点，过点D作 $D E ∥ B C$ 交AC于点E ，以DE为折线，将 $△ A D E$ 翻折，设所得的 $△ A' D E$ 与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
图1图2 图3

(1)、如图1，若 $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ ，则y的值为；

(2)、如图2，若 $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ， D为AB中点，则y的值为；

(3)、若 $∠ B = 30 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，设 $A D = x$ .
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.

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