2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期第二十七章相似单元测试 A卷

试卷更新日期：2024-03-15 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 如果 $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{a}{a + b} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，成比例的是（）

A、1，2，3，4 B、2，4，8，16 C、2，12，12，4 D、2，10，15，5

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3. 如图，已知 $△ A B C ∽ △ E D C$ ， $A C ： E C = 2 ： 3$ ，若 $A B$ 的长度为6，则 $D E$ 的长度为（）

A、4 B、9 C、12 D、 $13.5$

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4. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=2，BC=4，EF=3，则DE的长为（）

A、1 B、1.5 C、2 D、2.5

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5. 下列各组图形中，一定相似的是（）

A、两个平行四边形 B、两个正方形 C、两个菱形 D、两个矩形

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6. 如图，把△AOB缩小后得到△COD ，则△COD与△AOB的相似比为（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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7. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中 $A D ∥ B E ∥ C F$ ， $D E = 24 c m$ ， $E F = 40 c m$ ， $B C = 50 c m$ ，则 $A B$ 长为（） $c m$ ．

A、 $\frac{80}{3}$ B、 $\frac{100}{3}$ C、50 D、30

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在BC边上，连接AD ，点C在线段AD上， $G E ∥ B D$ ，且交AD于点E ， $G F ∥ A C$ ，且交CD于点F ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{A B}{A E} = \frac{A G}{A D}$ B、 $\frac{D F}{C F} = \frac{D G}{A D}$ C、 $\frac{A E}{B E} = \frac{C F}{D F}$ D、 $\frac{F G}{A C} = \frac{E G}{B D}$

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9. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝ $\sqrt{3}$ ，则△ABC移动的距离是（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$ ﹣ $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，按如下步骤作图：
第一步，分别以点 $A$ 、 $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径在 $A D$ 两侧作弧，交于两点 $M$ 、 $N$ ；
第二步，连接 $M N$ 分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ；
第三步，连接 $D E$ 、 $D F$ ．
若 $B D = 6$ ， $C D = 3$ ， $C F = 2$ ，则 $A E$ 的长是 $($ 　　 $)$

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

11. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{2}{3}$ ，若b+d≠0，则 $\frac{a + c}{b + d}$ ＝．

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12. 如图，乐器上的一根弦 $A B$ 的长度为 $100 c m$ ，两个端点 $A$ 、 $B$ 固定在乐器板面上，支撑点 $C$ 是弦靠近点 $B$ 的黄金分割点，则线段 $A C$ 的长度为 $c m$ .（结果保留根号，参考数据：黄金分割数： $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ）.

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13. 如图，原点 $O$ 是 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位似中心，点 $A (1 ， 0)$ 与点 $A^{'} (- 2 ， 0)$ 是对应点， $△ A B C$ 的面积是3，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积是．

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14. 如图， 4 个小正方形拼成 “ $L$ ” 型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，若 $S_{△ A B C} = 4$ ，则 $k =$ .

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15. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ，则 $D F$ 的长为．

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三、解答题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边AC、AB上， $A B =$ $2 A D ， A C = 2 A E$ .
求证： $△ A D E ~ △ A B C$ .

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17. 如图，在△ABC中，BM平分∠ABC ， MB＝MC ．

(1)、求证：△AMB∽△ABC；

(2)、若AM＝3，MB＝6，求AB的长．

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18. 如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P ，在近岸取点A和C ，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D ，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B ，测得AC＝50m ， CD＝120m ， AB＝80m ，请根据这些数据求河的宽度PA ．

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四、实践探究题

19. 【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．

【应用拓展】

(1)、如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为．

(2)、如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为．

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20. 根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线 $C N / / A M$ ， DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．
$B E = 2.5 m$
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆 $P Q = 3 m$ ，测得 $B Q = 3.5 m$ ， $Q D = 14 m$ ．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离 $G B = 1.6 m$ ）

(1)、任务1 利用素材1证明△ABM $∽$ △CDN；

(2)、任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度；

(3)、任务3 利用素材3求出旗杆的高度．

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五、综合题

21. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG²=GE•GD．

(1)、求证：∠ACF=∠ABD；

(2)、连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．

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22. 如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC ， MN与边AD交于点E ．

(1)、求证：AM＝AN；

(2)、如果∠CAD＝2∠NAD ，求证：AM²＝AC•AE；

(3)、MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM ， ON的数量关系并证明．

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23. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点．

(1)、求证：∠ACD＝∠DEC；

(2)、延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．

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2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 相似 单元测试 A卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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