2023-2024学年初中数学人教版八年级下学期第十六章二次根式单元测试 A卷

试卷更新日期：2024-03-15 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{16}$ =±4 B、± $\sqrt{9}$ =3 C、 $\sqrt{(- 3)^{2}}$ =-3 D、( $\sqrt{3}$ )²=3

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2. 代数式 $\frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$ 中x的取值范围是（）

A、x≥-4 B、x>2 C、x≥-4且x≠2 D、x>-4且x≠2

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = 2$ B、 $3 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} = 8 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2} = 6 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{2} \div 2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

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4. 下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{20}$

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5. 下列各式中正确的是（）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt{x^{2}} = x$ C、 $\sqrt[3]{(- x)^{3}} = - x$ D、 $\sqrt{(- x)^{2}} = - x$

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6. 下列式子：①( $\sqrt{19}$ )²=19；②( $\sqrt{- 19}$ )²=-19；③( $\sqrt{a - b}$ )²=a-b；④a=-( $\sqrt{- a}$ )²(a≤0)．其中一定正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 计算： $\sqrt{3}$ × $\sqrt{5}$ ＝.

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8. 已知 $a ， b$ 为实数，且满足 $\sqrt{a - 8} + \sqrt{8 - a} = b -$ 2 ，则 $\sqrt{a b}$ 的值是.

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9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|- $\sqrt{(b - 1)^{2}} + \sqrt{(a - b)^{2}}$ = ．

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三、计算题

10. 化简：

(1)、 $\sqrt{1 - 2 x + x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 8 x + 16} (1 \leq x < 4)$

(2)、 ${(\sqrt{2 - x})}^{2} - \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

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11.

(1)、已知x=2+ $\sqrt{3}$ ， y=2- $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$ 的值；

(2)、已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ， b= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，求a²-3ab+b²的值

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四、解答题

12. 在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
例如：化简( $\sqrt{1 - 3 x}$ )²-|1-x|．
解：由1-3x≥0，得x≤ $\frac{1}{3}$ ， ∴1-x>0，∴原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x- 1+x=-2x．
按照上面的解法，试化简： $\sqrt{(x - 3)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$ ．

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13. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地ABCD，长方形绿地的长BC为 $\sqrt{243}$ m，宽AB为 $\sqrt{128}$ m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为( $\sqrt{14}$ +1)m，宽为( $\sqrt{14}$ -1)m．

(1)、长方形ABCD的周长是多少？

(2)、除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m²的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)

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五、实践探究题

14. 先阅读，再解答问题．
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如：当x= $\sqrt{3}$ +1时，求 $\frac{1}{2}$ x³-x²-x+2的值，为解答这题，若直接把x= $\sqrt{3}$ +1代人所求的式中进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形．由x= $\sqrt{3}$ +1，得x-1= $\sqrt{3}$ ．再把所求的代数式变形为关于(x-1)的表达式．
原式= $\frac{1}{2}$ [x²(x-1)-x(x-1)-3x]+2= $\frac{1}{2}$ [x(x-1)²-3x]+2= $\frac{1}{2}$ (3x-3x)+2=2．
方法二：先将条件化成合适的等式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x-1= $\sqrt{3}$ ，可得x²-2x-2=0，即x²-2x=2，x²=2x+2．
原式= $\frac{1}{2}$ x(2x+2)-x²-x+2=x²+x-x²-x+2=2．
请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题：

(1)、已知a= $\sqrt{11}$ -1，求a²+2a+2的值；

(2)、已知x=2+ $\sqrt{5}$ ，求x²-4x+200的值；

(3)、已知x=2+ $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} - 5 x + 5}{x^{2} - 4 x + 2}$ 的值．

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六、综合题

15. 某同学在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．
他是这样分析与求解的：
先将 $a$ 进行分母有理化，过程如下，
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $(a - 2)^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ ，
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：

(1)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，请将 $a$ 进行分母有理化；

(2)、在（1）的条件下，求 $a^{2} - 2 a$ 的值；

(3)、在（1）的条件下，求 $2 a^{3} - 4 a^{2} - 1$ 的值

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