2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期第六章实数单元测试 B卷

试卷更新日期：2024-03-15 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，请你估算 $\sqrt{5} - 1$ 的值（）

A、在0和1之间 B、在1和2之间 C、在2和3之间 D、在3和4之间

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2. a ， b是两个连续整数，若 $a < \sqrt{17} < b$ ，则 $a b$ 是（）

A、12 B、13 C、20 D、21

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3. 下列整数中，与 $10 - \sqrt{13}$ 最接近的是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 我们知道实数和数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，点 $P$ 是半圆与数轴的交点，则点 $P$ 对应的实数为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、2.4 D、2.5

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5. 若9 $- \sqrt{13}$ 的整数部分为a ，小数部分为b ，则2a+b等于（　　）

A、12 $- \sqrt{13}$ B、13 $- \sqrt{13}$ C、14 $- \sqrt{13}$ D、15 $- \sqrt{13}$

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6. 设 $m = 5 \sqrt{\frac{1}{5}} - \sqrt{45} ，$ 则实数m所在的范围是（）

A、m<-5 B、-5<m<-4 C、-4<m<-3 D、m>-3

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7. 在-2，0， $\frac{1}{3}$ ， 0，020020002…(每两个“2”之间依次多一个“0”)，π， $\sqrt{9}$ ，这六个数中，无理数的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 下列四个式子：
① $\sqrt{8} < \sqrt{10}$ ；② $\sqrt{65}$ ＜8；③ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＜1；④ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＞0.5．

其中大小关系正确的式子的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ $\sqrt{3}$ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 $\overset{第 1 次}{\to}$ [ $[\frac{82}{\sqrt{82}}]$ ]=9 $\overset{第 2 次}{\to}$ [ $\frac{9}{3}$ ]=3 $\overset{第 3 次}{\to}$ [ $\frac{3}{\sqrt{3}}$ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 $| a - 2 | - | 2 - b | = | a - b |$ .下列四个选项中，有（）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
① ② ③ ④

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 比较大小：4 $\sqrt{20}$ （填“＞”“＜”或“＝”）．

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12. 定义 $[x]$ 为不大于x的最大整数，如 $[2] = 2$ ， $[\sqrt{3}] = 1$ ， $[4.1] = 4$ ，则满足 $[\sqrt{n}] = 5$ ，则 $n$ 的最大整数为.

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13. 与 $\sqrt{34}$ 最接近的整数是．

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14. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：

(1)、操作一：折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；

(2)、操作二：折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
① $\sqrt{3}$ 表示的点与数表示的点重合；

②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是；

(3)、操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是.

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三、计算题

15. 计算： ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + | - 3 | - \sqrt[3]{27} + {(- 1)}^{2021}$ .

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16. 计算： $| - 7 | + \sqrt{16} - {(- 3)}^{2}$ ．

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17. 求下列各数的立方根：

(1)、27.

(2)、-27.

(3)、 $\frac{1}{27}$ .

(4)、-0.064.

(5)、0.

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四、解答题

18. 已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x²+y²的算术平方根．

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19. 阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题．
已知a，b是有理数，并且满足等式 $5 - a \times \sqrt{3} = 2 b + \frac{2}{3} \times \sqrt{3} - a$ ，求a，b的值．

解：因为 $5 - a \times \sqrt{3} = 2 b + \frac{2}{3} \times \sqrt{3} - a$

即5-a× $\sqrt{3}$ =(2b-a)+ $\frac{2}{3}$ × $\sqrt{3}$

所以2b-a=5，-a= $\frac{2}{3}$

解得a= $- \frac{2}{3}$ ， b= $\frac{13}{6}$

设x，y是有理数，并且满足x²+y× $\sqrt{2}$ +2y=-4× $\sqrt{2}$ +17，求×+y的值．

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20. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\sqrt{2}$ -1来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。

又例如：

∵ $\sqrt{4}$ < $\sqrt{7}$ < $\sqrt{9}$ ，即2< $\sqrt{7}$ <3，

∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为( $\sqrt{7}$ -2)．

请解答：

(1)、 $\sqrt{17}$ 的整数部分是，小数部分是。

(2)、如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为a， $\sqrt{13}$ 的整数部分为b，求a+b- $\sqrt{5}$ 的值；

(3)、已知：10+ $\sqrt{3}$ =x+y，其中x是整数，且0<y<1，求x-y的相反数。

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五、实践探究题

21. 教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A ， B ， C ， D ，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．

(1)、【基础尝试】
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；

(2)、【画图探究】
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M ， N两点，则点M表示的数为；

(3)、【问题解决】
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数 $\sqrt{5} - 1$ 的准确位置．(保留作图痕迹并标出必要线段长)

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22. 中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ （即有 $\frac{b}{a}$ ＜x＜ $\frac{d}{c}$ ，其中a，b，c，d为正整数），则 $\frac{b + d}{a + c}$ 是x的更为精确的近似值.例如：已知 $\frac{157}{50} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$ ，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为 $\frac{157 + 22}{50 + 7} = \frac{179}{57}$ ；由于 $\frac{179}{57}$ ≈3.1404＜π，再由 $\frac{179}{57}$ $＜ π ＜ \frac{22}{7}$ ，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数 $\frac{201}{64}$ .

(1)、现已知 $\frac{11}{5} ＜ \sqrt{5} ＜ \frac{12}{5}$ ，
使用一次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；
使用二次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；
使用三次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；

(2)、 $\sqrt{5}$ 的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.

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23. 无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分
∵ $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$
∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，
∴ $\sqrt{7}$ 的小数部分为 $\sqrt{7} - 2$ ；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为5的正方形的边长是 $\sqrt{5}$ ，
∵ $2 < \sqrt{5} < 3$ ，
∴设 $\sqrt{5} = 2 + x$ （x为 $\sqrt{5}$ 的小数部分，0＜x＜1）．
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S_正方形＝x²+2•x+2•x+4，
∵S_正方形＝5，
∴x²+2•x+2•x+4＝5
略去x² ，得方程4•x+4＝5，解得：x＝0.25，即 $\sqrt{5} \approx 2.25$ ，
解决问题：

(1)、结合你所学的知识，探究 $\sqrt{10}$ 的近似值（结果精确到0.01）；

(2)、请总结估算 $\sqrt{n}$ （n为开方开不尽的数）的一般方法．

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2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第六章 实数 单元测试 B卷

一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、实践探究题

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