广东省江门市蓬江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 方程x²＝4的解是（　　）

A、x＝2 B、x＝﹣2 C、x＝±2 D、没有实数根

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3. 任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第 $30$ 页．这个事件是（）

A、必然事件 B、不可能事件 C、随机事件 D、以上选项均不正确

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4. 已知反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、函数图象分别位于第二、四象限 B、当 $x < 0$ 时， $y < 0$ C、在每一个象限内，y随x的增大而增大 D、函数图象经过点 $(2 ， - 1)$

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5. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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6. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，请列出方程（）

A、 $300 (1 + 2 x) = 500$ B、 $300 (1 + x^{2}) = 500$ C、 $300 {(1 + x)}^{2} = 500$ D、 $500 {(1 - x)}^{2} = 300$

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7. 在一个不透明的口袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个、白球7个，且从袋中随机摸出1个红球的概率是 $\frac{1}{5}$ ，则袋中黑球的个数为（）

A、5 B、7 C、10 D、13

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8. 如图， $P A$ 、 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，A、B为切点， $B O$ 是 $⊙ O$ 的半径， $∠ A B O = 32 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、 $62 °$ B、 $64 °$ C、 $66 °$ D、 $68 °$

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9. 如图，在平面直角坐标系中， $O B$ 在x轴上， $O A$ 在y轴上，点A的坐标为 $(0, 4)$ ，将 $△ A O B$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A D C$ ，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则k的值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3 m - 1$ 的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{3} \leq m < \frac{5}{3}$ B、 $\frac{1}{3} < m \leq 1$ C、 $1 < m \leq \frac{5}{3}$ D、 $m > 1$

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二、填空题

11. 一元二次方程 $2 x^{2} - x + 3 = 0$ 的常数项为．

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12. 抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 4$ 的顶点坐标是．

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13. 某蓄电池的电压36V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： $Ω$ ）的函数表达式为 $I = \frac{36}{R}$ ．当 $R = 9 Ω$ 时，I的值为A．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为 $10$ 和 $24$ ，求阴影部分的面积为．

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15. 如图，量角器的直径与直角三角板 $A B C$ 的斜边 $A C$ 重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线 $B D$ 从 $B C$ 处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转， $B D$ 与量角器的半圆弧交于点E ，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是度．

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三、解答题

16.

(1)、解方程： $x^{2} - 8 x - 1 = 0$ ．

(2)、如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 $A B = 4$ ，圆心角 $∠ C A B = 90 °$ ，求此圆锥高 $A O$ 的长度．

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17. 元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有A、B、C、D四个闸机，如图所示，游客领取门票后可随机选择一个闸口通过．

(1)、一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为．

(2)、当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率．

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18. 为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 $35 m$ ）的空地上修建一个矩形绿化带 $A B C D$ ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 $60 m$ 的栅栏围住，如图所示．若设绿化带的 $B C$ 边长为 $x m$ ，绿化带的面积为 $y m^{2}$ ．

(1)、求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)、当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是多少？

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19. 为建设绿色花园城市，某小区要在一块等边 $△ A B C$ 空地内修建一个圆形花坛．

(1)、实践与操作：要使花坛面积最大，用尺规作图法画出圆形花坛示意图（保留作图痕迹，不要求写作法）；

(2)、应用与计算：在（1）的条件下， $A B = 30$ 米，求圆形花坛的面积．

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20. 如图， $△ E D C$ 由 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转得到， $B 、 C 、 E$ 三点在同一直线上， $∠ A C D = ∠ A$ ．

(1)、求证： $△ E D C$ 是等腰三角形；

(2)、连接 $B D$ ，若 $∠ E = 52 °$ ，求 $∠ D B C$ 的度数．

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21. 通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当 $0 \leq x < 10$ 和 $10 \leq x < 20$ 时，图象是线段；当 $20 \leq x \leq 40$ 时，图象是反比例函数的一部分．

(1)、求反比例函数解析式和点A、D的坐标；

(2)、陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．

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22. 如图1， $⊙ O$ 的直径 $D E = 4 c m$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $B C = 4 c m$ ， $⊙ O$ 以1cm/s的速度从右向左运动，在运动过程中，点D、E始终在直线 $B C$ 上．设运动的时间为t（s），当 $t = 0 s$ 时， $⊙ O$ 在 $△ A B C$ 的右侧， $C D = 1 c m$ ．

(1)、当 $t =$ s时， $A C$ 所在的直线与 $⊙ O$ 相切；
当 $t =$ s时， $A B$ 所在的直线与 $⊙ O$ 相切；

(2)、当 $A C$ 所在的直线与 $⊙ O$ 相切时，若 $⊙ O$ 与 $△ A B C$ 有重叠部分，求重叠部分的面积；

(3)、当 $t = 2 s$ 时，如图2，点P是线段 $A B$ 上的一个动点，过点P作 $⊙ O$ 的一条切线 $P Q$ （Q为切点），求线段 $P Q$ 的最小值．

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23. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度 $A B$ 为 $30 m$ ，大孔顶点P距水面 $10 m$ （即 $P O = 10 m$ ），小孔水面宽度 $B C$ 为 $12 m$ ，小孔顶点Q距水面 $6 m$ （即 $Q D = 6 m$ ），建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求大孔抛物线的解析式；

(2)、现有一艘船高度是 $6 m$ ，宽度是 $18 m$ ，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．

(3)、当水位上涨 $4 m$ 时，求小孔的水面宽度 $E F$ ．

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