广东省惠州市惠东县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-15 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）.

A、1984前南斯拉夫 B、1988加拿大 C、2006意大利 D、2022中国

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2. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观.下列成语描述的事件是不可能事件的是（）

A、水中捞月 B、守株待兔 C、百步穿杨 D、瓮中捉鳖

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3. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $2 (x - 1) = 3 x$ B、 $x y + y = 1$ C、 $x (x - 1) = 0$ D、 $\frac{1}{x} + x = 0$

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4. 将抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 5$ 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线为（）

A、 $y = (x + 1)^{2} + 6$ B、 $y = - (x - 3)^{2} + 6$ C、 $y = (x - 3)^{2} + 4$ D、 $y = - (x + 1)^{2} + 4$

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5. 如图，一根排水管的截面是一个半为5的圆，管内水面宽 $A B = 8$ ，则水CD为（）

A、3 B、2 C、2 D、3

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6. 如图，C ， D是 $⊙ O$ 上直径AB两侧的两点，若 $∠ A B C = 35 °$ ，则 $∠ B D C =$ （）

A、85° B、75° C、65° D、55°

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7. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针转80°，得到 $△ A D E$ ，若点D在线段BC的延长线上，则 $∠ B$ 的大小是（）

A、45° B、50° C、60° D、100°

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8. 在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球8个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则黄球的个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 $A (0 ， 3)$ ，点 $B (2 ， 1)$ ，点 $C (2 ， - 3)$ ．则经画图操作可知： $△ A B C$ 的外接的圆心坐标是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(- 1 ， - 1)$ D、 $(0 ， - 1)$

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ，且 $a + b + c = - 1$ ， $a - b + c = - 3$ ．判断下列结论：
①抛物线与x轴负半轴必有一个交点；② $b = 1$ ；③ $a b c > 0$ ；④ $2 a + 2 b + c < 0$ ；⑤当 $0 ≤ x ≤ 2$ 时， $y_{最大} = 3 a$ ，其中正确的是（）

A、①③⑤ B、①②⑤ C、②③⑤ D、①②③④⑤

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二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）

11. 在直角坐标系中，点 $A (1 ， 2)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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12. 若m是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则 $m^{2} - m + 2023$ 的值为．

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13. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是.（结果保留 $π$ ）

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14. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，若 $y > 0$ ，则x的取值范围是．

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15. 如图，半径为2的扇形AOB的圆心角为120°，点C是弧AB的中点，点D、E是半径OA、OB上的动点，且满足∠DCE＝60°，则图中阴影部分面积等于．

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三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）

16.

(1)、解方程： $x^{2} - 10 x + 9 = 0$

(2)、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像经过 $(1 ， 0)$ 和 $(4 ， - 3)$ 两点，求该二次函数的表达式．

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17. 嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”.2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D四张卡片（背面完全同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)、小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率是；

(2)、小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．

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18. 如图，已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别是 $A (- 3 ， 1)$ ， $B (- 1 ， - 1)$ ， $C (- 2 ， 2)$ ．

(1)、实践与操作：画出 $△ A B C$ 绕点B逆时针转 $90 °$ 所得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、直观感知：直接写出点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标．

(3)、应用与计算：点C转到点 $C_{1}$ 所经过的路径长是（结果保留 $π$ ）．

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四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、方程的一根于2，一根小于1，求m的取值范围．

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20. 2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16冰墩和雪容融．

(1)、若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；

(2)、冬奥会闭幕后需求有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降价15元，每天多卖出3套，商店每套应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？

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21. 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC绕点A顺时针方向转，旋转角度为 $α (0 ° < α < 45 °)$ ，得到 $△ A B C^{'}$ ．

(1)、【数学思考】老师问：当 $α$ 为多少度时， $A B ∥ D C$ ？（请写出证明过程）；

(2)、【深入探究】老师继续旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：当旋转到图③所示位置时， $α$ 为_▲_度．直接写出结果；
②“智慧小组”提出问题：连接BD ，当 $0 ° < α < 45 °$ 时，探求 $∠ D B C^{'} + ∠ C A C^{'} + ∠ B D C$ 值的大小变化情况，并给出你的证明．请你解答此问题．

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五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22. 综合应用：如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C是 $⊙ O$ 上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D ，直线DC与AB的延长线相交于点P ， G是 $△ A C B$ 的内心，连接CG并延长，交 $⊙ O$ 于点E ，交AB于点F ，连接BE ．

(1)、求证：AC平分 $∠ D A B$ ；

(2)、连接BG ，判断 $△ E B G$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ，求线段EC的长．

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23. 综合探究：如图，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ，连接AC ， BC ． M为线段OB上的一个动点，过点M作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点P ，交BC于点Q ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设M点的坐标为 $M (m ， 0)$ ，请用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出当m为何值时，PQ有最大值，最大值是多少？

(3)、试探究点M在动过中，是否存在这样的点Q ，使得以A ， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)、在（2）的条件下，直PM上有一动点R ，连接RO ，将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，求出点R的坐标．

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