广东省惠州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-15 类型：期末考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列四个字中可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）

A、1，3，4 B、2，2，7 C、4，5，7 D、3，3，6

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3. 下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 计算 $a^{3} \cdot a^{2}$ 的结果是（）

A、A B、 $a^{6}$ C、 $6 a$ D、 $a^{5}$

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5. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为 $(2 ， 1)$ ，则点P关于y轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(2 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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6. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列式子中是分式的是（）

A、 $\frac{1}{π}$ B、 $\frac{x}{3}$ C、 $\frac{1}{x - 1}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 如图，小虎用10块高度都是 $3 c m$ 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 $(A C = B C ， ∠ A C B = 90 °)$ ，点C在 $D E$ 上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离 $D E$ 的长度为（）

A、 $30 c m$ B、 $27 c m$ C、 $24 c m$ D、 $21 c m$

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9. 如图，若 $A B = A C ， B D = C D ， ∠ B = 20 °$ ， $∠ B D C = 120 °$ ，则 $∠ A$ 等于（）

A、 $70 °$ B、 $80 °$ C、 $90 °$ D、 $100 °$

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10. 小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）．

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 分解因式： $a^{2} - a b$ = ．

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12. 若代数式 $\frac{5}{x - 2}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

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13. 在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=°

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C ， A B$ 于点M ， N ，再分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点D ，若 $C D = 3 ， A B = 10$ ，则 $△ A B D$ 的面积是．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A C 、 A B$ 于点D、E ，连接 $B D$ ．若 $C D = 1$ ，则 $A D$ 的长为．

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三、解答题（一）（本题共3小题，每小题8分，共24分）

16.

(1)、分式化简： $\frac{3 - a}{a - 2} + 1$

(2)、如图， $A B = A C ， ∠ B A D = ∠ C A D$ ．
求证： $B D = C D$ ．

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17. 将一个正六边形的纸片对折，并完全重合．那么得到的图形是几边形？它的内角和（按一层计算）是多少度？

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18. 随着中国网民规模突破 $10$ 亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使 $“$ 伽瑶 $”$ ，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作 $3000$ 个 $“$ 伽瑶 $”$ 玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的 $1.5$ 倍，结果提前 $5$ 天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？

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四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）

19. 回答下列问题：

(1)、计算：① $(x + 2) (x + 3) =$ ；② $(x + 2) (x - 3) =$ ．
③ $(x - 2) (x + 3) =$ ；④ $(x - 2) (x - 3) =$ ．

(2)、总结公式 $(x + a) (x + b) = x^{2} +$ $x + a b$

(3)、已知a，b，m均为整数，且 $(x + a) (x + b) = x^{2} + m x + 5$ ．求m的所有可能值．

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20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A ， B ， C ， D$ 均为格点（网格线的交点）．

(1)、画出线段 $A B$ 关于直线 $C D$ 对称的线段 $A_{1} B_{1}$ ；

(2)、将线段 $A B$ 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段 $A_{2} B_{2}$ ，画出线段 $A_{2} B_{2}$ ；

(3)、描出线段 $A B$ 上的点 $M$ 及直线 $C D$ 上的点 $N$ ，使得直线 $M N$ 垂直平分 $A B$ ．

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21. 如图， BD 是 △ABC的角平分线， DE∥BC ，交 AB 于点E．

(1)、求证： $∠ E B D = ∠ E D B$ ．

(2)、当AB=AC时，请判断 CD 与ED的大小关系，并说明理由．

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五、解答题（三）（本题共2小题，每小题12分，共24分）

22.
图① 图② 图③

(1)、观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．
【应用】根据图②所得的公式，若 $a + b = 10 ， a b = 5$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

(2)、若x满足 $(11 - x) (x - 8) = 2$ ，求 $(11 - x)^{2} + (x - 8)^{2}$ 的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地 $A B C D ， A C ⊥ B D$ 于点 $E ， A E = D E ， B E = C E$ ．该校计划在 $△ A E D$ 和 $△ B E C$ 区域内种花，在 $△ C D E$ 和 $△ A B E$ 的区域内种草．经测量种花区域的面积和为 $\frac{25}{7}$ ， $A C = 7$ ，直接写出种草区域的面积和．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 7 ， A D ⊥ B C$ 于 $D 、 B E ⊥ A C$ 于 $E ， A D 、 B E$ 相交于点O ，且 $A E = B E$ ．
（备用图1）（备用图2）

(1)、求 $∠ A C B + ∠ A O B =$ °．

(2)、试说明： $△ A E O ≌ △ B E C$ ；

(3)、点F是直线 $A C$ 上的一点且 $C F = B O$ ，动点P从点O出发，沿线段 $O A$ 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线 $B C$ 以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

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