安徽省黄山市2024届高三下学期第一次质量检测（一模）数学

试卷更新日期：2024-03-15 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {1 ， 4} ， B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∪ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 4}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${1 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$

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2. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (\frac{1}{2} ， 0)$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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3. 已知 ${a_{n}}$ 是以 $q$ 为公比的等比数列， $a_{3} - a_{1} = 2$ ， $a_{6} - a_{4} = 16$ ，则 $q =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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4. 已知 $s i n α s i n β = \frac{1}{5}$ ， $c o s (α - β) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{18}{25}$ D、 $- \frac{23}{25}$

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5. 2024年是安徽省实施“ $3 + 1 + 2$ ”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，满足 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = 2 \sqrt{3} ， | \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 过点 $(0 ， 3)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $α$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线平行的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ ，且 $| F_{2} M | = λ | F_{1} M |$ ，当 $λ \in [2 ， 4]$ 时，双曲线 $C$ 离心率的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为棱 $B C$ 、 $C C_{1}$ 、 $C D$ 的中点，下列结论正确的有（）

A、 $A E$ 与 $D_{1} F$ 共面 B、平面 $A B_{1} D_{1} / /$ 平面 $G F E$ C、 $A E ⊥ E F$ D、 $B F / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$

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10. 下列说法正确的有（）

A、若线性相关系数 $| r |$ 越接近 $1$ ，则两个变量的线性相关性越强 B、若随机变量 $X ∼ N (1 ， σ^{2})$ ， $P (X \leq 5) = 0.75$ ，则 $P (X \leq - 3) = 0.25$ C、若样本数据 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $⋯$ 、 $x_{24}$ 的方差为 $3$ ，则数据 $2 x_{1} + 1$ 、 $2 x_{2} + 1$ 、 $⋯$ 、 $2 x_{24} + 1$ 的方差为 $18$ D、若事件 $A$ 、 $B$ 满足 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ， $P (B | A) = P (B)$ ，则有 $P (A | B) = P (A)$

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11. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ．若 $f (x)$ 满足 $f (2 + 3 x) = f (- 3 x)$ ， $g (x - 2)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称，且 $g (0) = 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 奇函数 B、 $g (1) = 0$ C、 $f (x) = f (x + 4)$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} g (\frac{k}{2}) = 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若复数 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为．

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13. $(2 x + 1) (1 - x)^{9}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数为．

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14. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，其外接圆半径为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $c o s 2 B = 2 - 5 c o s (A + C)$ ，则角 $B$ 大小为，若点 $D$ 在边 $A C$ 上， $D C = 2 A D ， B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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四、解答题：本题共5小逐，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 4 a x + a^{2} l n x$ 在 $x = 1$ 处取值得极大值．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值．

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16. 某校高三年级 $1000$ 名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 $[30 ， 50)$ 、 $[50 ， 70)$ 、 $[70 ， 90)$ 、 $[90 ， 110)$ 、 $[110 ， 130)$ 、 $[130 ， 150]$ ．

(1)、求图中 $a$ 的值，并根据频率分布直方图，估计这 $1000$ 名学生的这次考试数学成绩的第 $85$ 百分位数；

(2)、从这次数学成绩位于 $[50 ， 70)$ 、 $[70 ， 90)$ 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 $9$ 人，再从这 $9$ 人中随机抽取 $3$ 人，该 $3$ 人中成绩在区间 $[70 ， 90)$ 的人数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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17. 如图，四棱锥 $A - B C D E ， A B = B C = A C = C D = 2 B E = 2 ， B E ∥ C D ， ∠ B C D = \frac{π}{2}$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D E ， F$ 为 $B C$ 中点．

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $A F D$ ；

(2)、求平面 $A E D$ 与平面 $A F D$ 夹角的正弦值．

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18. 设点 $F_{1} (- c ， 0)$ 、 $F_{2} (c ， 0)$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- 2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求椭圆 $C$ 的外切矩形 $A B C D$ 的面积 $S$ 的最大值．

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19. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 ${a_{n}}$ ，规定 ${Δ a_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ，规定 ${Δ^{2} a_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的二阶差分数列，其中 $Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{3} (n \in N^{*})$ ，试判断数列 ${Δ a_{n}} ， {Δ^{2} a_{n}}$ 是否为等差数列，请说明理由？

(2)、数列 ${l o g_{a} b_{n}}$ 是以1为公差的等差数列，且 $a > 2$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $Δ^{2} b_{n} = b_{m}$ ，求 $a$ 的值；

(3)、各项均为正数的数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 ${Δ c_{n}}$ 为常数列，对满足 $m + n = 2 t$ ， $m \neq n$ 的任意正整数 $m ， n ， t$ 都有 $c_{m} \neq c_{n}$ ，且不等式 $S_{m} + S_{n} > λ S_{t}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最大值．

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安徽省黄山市2024届高三下学期第一次质量检测（一模） 数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

四、解答题：本题共5小逐，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

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