河南省TOP二十名校2024届高三下学期质检（一）数学

试卷更新日期：2024-03-15 类型：高考模拟

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一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 若 $| \sqrt{x} - i | = | 1 - 2 i |$ ，则实数 $x =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中常数项为（）

A、28 B、56 C、70 D、76

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3. 若 $s i n θ = \frac{3}{5} ， θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s^{2} (\frac{θ}{2} - \frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{20}$ B、 $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{20}$ C、 $\frac{6 + \sqrt{3}}{20}$ D、 $\frac{6 - \sqrt{3}}{20}$

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4. 已知圆 $M ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、点 $(3 ， 2)$ 在圆外 B、直线 $2 x + y - 4 = 0$ 平分圆 $M$ C、圆 $M$ 的周长为 $2 π$ D、直线 $x + \sqrt{3} y = 0$ 与圆 $M$ 相离

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5. 直线 $x - y + 4 = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的左端点 $A$ ，交椭圆于另外一点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，若 $\vec{A B} = 3 \vec{B C}$ ，则该椭圆的焦距为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{16 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{8 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

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6. 在 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = A_{1} B_{1} = x ， B C = B_{1} C_{1} = \sqrt{3} ， C = C_{1} = \frac{π}{3}$ ，若 $△ A B C ≅ △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，则（）

A、 $x \in (0 ， \frac{3}{2}]$ B、 $x \in (0 ， \sqrt{3})$ C、 $x \in [\sqrt{3} ， + ∞)$ D、 $x \in [\sqrt{3} ， + ∞) \cup {\frac{3}{2}}$

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7. 如图是棱长均为2的柏拉图多面体 $P A B C D Q$ ，已知该多面体为正八面体，四边形 $A B C D$ 为正方形， $O ､ E$ 分别为 $P Q ､ C Q$ 的中点，则点 $A$ 到平面 $O E B$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得-1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.令 $P_{i}$ 表示在甲的累计得分为 $i$ 时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则 $P_{1} =$ （）

A、 $\frac{5^{5} - 3^{5}}{5^{5}}$ B、 $\frac{5^{6} - 3^{6}}{5^{6}}$ C、 $\frac{2 \times 5^{5}}{5^{6} - 3^{6}}$ D、 $\frac{5^{6}}{5^{7} - 3^{7}}$

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二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{24} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2} ， | F_{1} F_{2} | = 10$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于点 $P$ ，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 \sqrt{6} x$ B、 $3 | P F_{1} | = 4 | P F_{2} |$ C、直线 $l$ 的斜率为土 $\frac{4}{3}$ D、 $P$ 的坐标为 $(\frac{7}{5} ， \frac{24}{5})$ 或 $(\frac{7}{5} ， - \frac{24}{5})$

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10. 某质点的位移 $y (c m)$ 与运动时间 $x (s)$ 的关系式为 $y = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， φ \in (- π ， π))$ 的图象如图所示，其与 $y$ 轴交点坐标为 $(0 ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，与直线 $y = \frac{1}{2}$ 的相邻三个交点的横坐标依次为 $\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{18} ， \frac{5 π}{6}$ ，则（）

A、 $ω = 3$ B、 $φ = - \frac{2 π}{3}$ C、质点在 $[1 ， \frac{3}{2}] s$ 内的位移图象为单调递减 D、质点在 $[0 ， \frac{7 π}{18}] s$ 内的平均速率为 $\frac{9 (1 + \sqrt{3})}{7 π} c m / s$ （平均速率 $=$ 总路程）

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) ､ g (x)$ ，其导函数分别为 $f^{'} (x) ､ g^{'} (x) ， f (1 - x) = 6 - g^{'} (1 - x) ， f (1 - x) - g^{'} (1 + x) = 6$ ，且 $g (x) + g (- x) = 4$ ，则（）

A、 $g^{'} (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 1)$ 中心对称 B、 $g^{'} (x + 4) = g^{'} (x)$ C、 $f^{'} (6) = f^{'} (2)$ D、 $f (1) + f (3) = 12$

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三、､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.

12. 若集合 $M = {- 1 ， 0 ， 1} ， N = {x ∣ - 1 < x ⩽ 1}$ ，则 $M \cap N =$ .

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13. 记函数 $y = e^{x}$ 的图象为 $C_{1}$ ，作 $C_{1}$ 关于直线 $y = \frac{1}{2} x$ 的对称曲线得到 $C_{2}$ ，则曲线 $C_{1}$ 上任意一点与曲线 $C_{2}$ 上任意一点之间距离的最小值为.

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14. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， A B = B D = 2 \sqrt{2} ， A D = 4 ， P A = P D$ ， $∠ B C D = \frac{3 π}{4}$ ，若二面角 $P - A B - D$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积为.

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四、､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

15. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的 $A P P$ ，得到如下数据：

青年人
中年人
老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求
$2 a + 4 b$
200
$a$
对短视频剪接成长视频的APP无需求
$a + b$
150
$4 b$
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400.

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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16. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $O$ 为底面 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心， $D \in C C_{1} ， C D ： D C_{1} = 1 ： 2$ .

(1)、求证： $O D$ $∥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、若 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，且三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均为6，设直线 $A B_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，求 $s i n θ$ 的值.

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相切.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、已知点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线 $C$ 上， $A ， B$ 分别位于第一象限和第四象限，且 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 4$ ，过 $A ， B$ 分别作直线 $x = - 1$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1} ， B_{1}$ ，求四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 面积的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = - c o s x ， g (x) = \frac{x^{2}}{2} - 1 ， x \in [0 ， + ∞)$ .

(1)、判断 $g (x) ⩾ f (x)$ 是否对 $\forall x \in [0 ， + ∞)$ 恒成立，并给出理由；

(2)、证明：①当 $0 < m < n < \frac{π}{2}$ 时， $\frac{s i n m - s i n n}{m - n} > c o s n$ ；
②当 $a_{i} = \frac{1}{2^{i}} (i \in N^{*}) ， k_{i} = \frac{f^{'} (a_{i + 1}) - f^{'} (a_{i})}{a_{i + 1} - a_{i}} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n - 1)$ 时， $\sum_{i = 1}^{n - 1} k_{i} > \frac{6 n - 7}{6}$ .

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19. 在正项无穷数列 ${a_{n}}$ 中，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} a_{n + 2 m} = {(a_{n + m})}^{2}$ ，则称 ${a_{n}}$ 为 $m$ 阶等比数列.在无穷数列 ${b_{n}}$ 中，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} + b_{n + 2 m} = 2 b_{n + m}$ ，则称 ${b_{n}}$ 为 $m$ 阶等差数列.

(1)、若 ${a_{n}}$ 为1阶等比数列， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{7}{4} ， a_{3} + a_{4} + a_{5} = \frac{7}{16}$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为 $m$ 阶等比数列，求证： ${l n a_{n}}$ 为 $m$ 阶等差数列；

(3)、若 ${a_{n}}$ 既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明： ${a_{n}}$ 是等比数列.

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	青年人	中年人	老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求	$2 a + 4 b$	200	$a$
对短视频剪接成长视频的APP无需求	$a + b$	150	$4 b$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

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一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

三、､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.

四、､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

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