广东省广州市天河区2024届高三下学期综合测试（二）数学

试卷更新日期：2024-03-15 类型：高考模拟

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一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | x = 3 k ， k \in N}$ ， $B = {x | x = 6 z ， z \in N}$ ，则（）

A、 $A ⊆ B$ B、 $B ⊆ A$ C、 $A = B$ D、 $A \cup B = N$

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2. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，则“ $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (2 ， m)$ 到焦点的距离为3，则 $p =$ （）

A、6 B、4 C、2 D、1

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4. 若实数 $m$ 满足 $l o g_{2} (- m) < m + 1$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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5. 根据分类变量 $x$ 与 $y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 7.174$ .依据 $α = 0.005$ 的独立性检验，结论为（）
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

A、变量 $x$ 与 $y$ 独立 B、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0.005$ C、变量 $x$ 与 $y$ 不独立 D、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0.005$

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6. 若直线 $a x + b y = 1$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则圆 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = \frac{1}{4}$ 与圆 $O$ （）

A、外切 B、相交 C、内切 D、没有公共点

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7. 已知 $\sqrt{3} s i n α + c o s α = \frac{6}{5} ， \frac{π}{3} < α < \frac{5 π}{6}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$

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8. 设 $10 \leq x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} \leq 50$ ，随机变量 $ξ_{1}$ 取值 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ 的概率均为0.2，随机变量 $ξ_{2}$ 取值 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， \frac{x_{2} + x_{3}}{2} ， \frac{x_{3} + x_{4}}{2} ， \frac{x_{4} + x_{5}}{2} ， \frac{x_{5} + x_{1}}{2}$ 的概率也均为0.2，若记 $D (ξ_{1}) ， D (ξ_{2})$ 分别为 $ξ_{1} ， ξ_{2}$ 的方差，则（）

A、 $D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ B、 $D (ξ_{1}) = D (ξ_{2})$ C、 $D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ D、 $D (ξ_{1})$ 与 $D (ξ_{2})$ 的大小关系与 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ 的取值有关

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二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $m ， n$ 是不同的直线， $α ， β$ 是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $m$ $/ /$ $α ， n \subset α$ ，则 $m$ $/ /$ $n$ B、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， m$ $/ /$ $n$ ，则 $α$ $/ /$ $β$ C、若 $α$ $/ /$ $β ， m \subset α$ ，则 $m$ $/ /$ $β$ D、若 $α$ $/ /$ $β ， m \subset α ， n \subset β$ ，则 $m$ $/ /$ $n$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = 2 s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 D、函数 $F (x) = f (\frac{x}{2} - \frac{π}{24}) + f (x - \frac{π}{6})$ 的最小值为 $- \frac{9}{4}$

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11. 双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，右顶点 $A$ 到一条渐近线的距离为2，右支上一动点 $P$ 处的切线记为 $l$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $| P F_{1} | = \frac{9 \sqrt{5}}{2}$ D、过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} K ⊥ l$ ，垂足为 $K ， | O K | = 2 \sqrt{5}$

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三、､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）是关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $x^{2} + k x + 2 = 0$ 的一个虚根，则实数 $k =$ .

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13. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{a x}$ ，若 $f (l n 2) = \frac{1}{8}$ ，则 $a =$ .

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14. 如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为.

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四、､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 20)$ ，其中 $x_{i}$ ，和 $y_{i}$ ，分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得 $\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 80 ， \sum_{i = 1} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 9000 ， \sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 800$ .

(1)、求样本 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 20)$ 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；

(2)、已知20个样区中有8个样区这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X ，求随机变量X的分布列.
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} ， \sqrt{2} \approx 1.414$

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，且与平面 $A_{1} B C$ 垂直， $B C ⊥ A C$ ， $A A_{1} = A_{1} C = 4 ， B C = 2$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、棱 $C C_{1}$ 上是否存在一点 $D$ ，使得直线 $A_{1} D$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角为 $3 0^{∘}$ ？若存在，请确定点 $D$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{3} a_{3} + ⋯ + \frac{1}{n} a_{n} = a_{n + 1} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，记 $T_{n}$ 为 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $n \geq 3$ 时， $T_{n} < n (2^{n + 1} - 4)$ .

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18. 已知直线 $l_{1} ： y = \frac{\sqrt{2}}{2} x ， l_{2} ： y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，动点 $A ， B$ 分别在直线 $l_{1} ， l_{2}$ 上， $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $Γ$ .

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $P (- 2 ， 1)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于不同的两点 $C ， D$ ，线段 $C D$ 上一点 $Q$ 满足 $\frac{| P C |}{| P D |} = \frac{| Q C |}{| Q D |}$ ，求 $| O Q |$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + 2 x - b (b > 2)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 恰有一个零点 $a$ ，且 $a \in (1 ， b)$ ；

(2)、我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取 $x_{1} \in (1 ， a)$ ，实施如下步骤：在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{2} ， 0)$ ：在点 $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{3} ， 0)$ ；一直继续下去，可以得到一个数列 ${x_{n}}$ ，它的各项是 $f (x)$ 不同精确度的零点近似值.
（i）设 $x_{n + 1} = g (x_{n})$ ，求 $g (x_{n})$ 的解析式；
（ii）证明：当 $x_{1} \in (1 ， a)$ ，总有 $x_{n} < x_{n + 1} < a$ .

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$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

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一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

三、､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

四、､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

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