北京市延庆区2024届高考一模数学试题

试卷更新日期：2024-03-15 类型：高考模拟

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合 $A = {x | x < 3}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot i = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 在 $(2 x - \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $40$ B、 $- 40$ C、 $80$ D、 $- 80$

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4. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x = - 4$ 的距离为 $7$ ，则 $| M F | =$ （）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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5. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A D})$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、8

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6. “ $s i n 2 θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一或第三象限角”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2 x - 1$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(- ∞ ， 0)$ D、 $(- ∞ ， 0) \cup (1 ， + ∞)$

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8. 设a=log₃2，b=log₉6，c= $\frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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9. 在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P A = 1$ ， $Q$ 为边 $B C$ 上的动点，则线段 $P Q$ 长度的最大值是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{3} + 2$ D、 $3$

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10. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $P$ 是正方形 $A B C D$ 内的动点， $P A \geq P C_{1}$ ，则满足条件的点 $P$ 构成的图形的面积等于（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{π}{16}$ D、 $\frac{π}{8}$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为．

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12. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $∠ B = 6 0^{∘}$ ， $s i n A = 3 s i n C$ ， $b = \sqrt{7}$ ，则 $c =$ ， $△ A B C$ 的面积为．

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13. 已知函数 $f (x) = x^{α} (0 < α < 1)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 上单调递减，则 $α$ 的一个取值为．

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14. 北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 $9$ 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 $9$ 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 $9$ 块，向外每环依次也增加 $9$ 块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) $3402$ 块，则上层有扇形石板块．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} x^{2} + 2 a x ， & x < 1 ， \end{array} \\ \begin{array}{l} \frac{a l n x}{x} & \begin{array}{l} ， & x \geq 1 \end{array} \end{array} . \end{array}$ 给出下列四个结论：
①存在实数 $a$ ，使得函数 $f (x)$ 的最小值为 $0$ ；
②存在实数 $a < 0$ ，使得函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ ；
③存在实数 $a$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有 $2$ 个零点；
④存在实数 $a$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有 $4$ 个零点．
其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x - 2 a s i n^{2} x + a$ $(a > 0)$ ， $f (x)$ 的最大值为 $2$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调增区间．

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17. 第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：

12月16日	星期六	9：30	单人雪橇第1轮
		10：30	单人雪橇第2轮
		15：30	双人雪橇第1轮
		16：30	双人雪橇第2轮
12月17日	星期日	9：30	单人雪橇第3轮
		10：30	单人雪橇第4轮
		15：30	团体接力

(1)、若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；

(2)、若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记

X

为看到双人雪橇的次数，求

X

的分布列及期望

E (X)

；

(3)、若小明在每天各随机观看一场比赛，用“

ξ_{1} = 1

”表示小明在周六看到单人雪橇，“

ξ_{1} = 0

” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“

ξ_{2} = 1

”表示小明在周日看到单人雪橇，“

ξ_{2} = 0

”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差

D （ ξ_{1} ）

，

D （ ξ_{2} ）

的大小关系．

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18. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，侧面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D_{1} D = 3$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $D_{1} B / /$ 平面 $C_{1} E D$ ；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角 $D - C_{1} E - B_{1}$ 唯一确定，并求二面角 $D - C_{1} E - B_{1}$ 的余弦值．
条件①： $C_{1} D = \sqrt{13}$ ；
条件②： $D_{1} B = \sqrt{17}$ ；
条件③： $A D ⊥ C_{1} D$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A ， C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点， $| A C | = 2$ ， $B ， D$ 分别是 $E$ 的左、右顶点．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为第二象限内 $E$ 上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $B P$ 与直线 $C D$ 交于点 $N$ ，求证： $M N ⊥ B D$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = - l n x + (2 + a) x - 2$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 的一条切线方程为 $y = x - 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $\forall x \in (\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ ， $f (x)$ 无零点，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ ，记集合 $T = {S (i ， j) | S (i ， j) = a_{i} + a_{i + 1} + . . . + a_{j} ， 1 \leq i < j ， i ， j \in N^{*}}$ .

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 为 $1 ， 2 ， 3$ ，写出集合 $T$ ；

(2)、若 $a_{n} = 2 n$ ，是否存在 $i ， j \in N^{*}$ ，使得 $S (i ， j) = 512$ ？若存在，求出一组符合条件的 $i ， j$ ；若不存在，说明理由；

(3)、若 $a_{n} = n$ ，把集合 $T$ 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 $b_{1} ， b_{2} ， . . . ， b_{m} ， . . .$ ，若 $b_{m} \leq 2024$ ，求 $m$ 的最大值．

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