山东省潍坊市、滨州市2024年高考数学一模试卷

试卷更新日期：2024-03-15 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知平面向量 $\vec{a} = (1，2) ， \vec{b} = (- 1 ， λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $2$

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2. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = y$ 上点 $M$ 的纵坐标为 $1$ ，则 $M$ 到 $C$ 的焦点的距离为（）

A、 $1$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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3. 已知集合 $A = {x | {l o g}_{3} (2 x + 1) = 2}$ ，集合 $B = {2 ， a}$ ，其中 $a \in R .$ 若 $A \cup B = B$ ，则 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 1$ ， $S_{1} = 5 a_{4} + 10$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、 $6$ B、 $- \frac{32}{5}$ C、 $8$ D、 $10$

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5. $12$ 世纪以前的某时期 $.$ 盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等 $.$ 罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：
例如： $58 = L V I I I$ ， $464 = C C C C L X I I I I .$ 依据此记数方法， $M M X X X V =$ （）

A、 $2025$ B、 $2035$ C、 $2050$ D、 $2055$

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6. 如图所示，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为截面 $A_{1} C_{1} B$ 上的动点，若 $D P ⊥ A_{1} C$ ，则点 $P$ 的轨迹长度是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1 .$ 若数列 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{2^{2023} + 1}{3}$ B、 $\frac{2^{2024} + 1}{3}$ C、 $2^{1012} - 1$ D、 $2^{1011} - 1$

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8. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的直径为 $6$ ，且 $A B ⊥ B C$ ， $B C = 2$ ，则该棱柱体积的最大值为（）

A、 $8$ B、 $12$ C、 $16$ D、 $24$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 某科技攻关青年团队有 $6$ 人，他们年龄分布的茎叶图如图所示 $.$ 已知这 $6$ 人年龄的极差为 $14$ ，则（）

A、 $a = 8$ B、 $6$ 人年龄的平均数为 $35$ C、 $6$ 人年龄的 $75 %$ 分位数为 $36$ D、 $6$ 人年龄的方差为 $\frac{64}{3}$

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10. 函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + 2 c o s^{2} ω x - 1 (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $y = f (2 x + \frac{π}{3})$ 是奇函数 C、 $y = f (x + \frac{π}{6}) c o s x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、若 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{11}{6} ， \frac{17}{6})$

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11. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f (x) - f (- x) = 2 x$ ， $g (x) + g (2 - x) = 0$ ，则（）

A、 $g (0) = 1$ B、 $y = \frac{f (x)}{x}$ 的图象关于点 $(0，1)$ 对称 C、 $f (x) + f (2 - x) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} g (k) = \frac{n - n^{2}}{2} (n \in N^{*})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = i$ ，则 $\frac{z}{2 - i} =$ ．

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13. 第 $40$ 届潍坊国际风筝会期间，某学校派 $5$ 人参加连续 $6$ 天的志愿服务活动，其中甲连续参加 $2$ 天，其他人各参加 $1$ 天，则不同的安排方法有种 $. ($ 结果用数值表示 $)$

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14. 已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ ： $y = 2 x$ ， $l_{2}$ ： $y = - 2 x$ ，点 $P$ 为平面内一动点，过 $P$ 作 $D P / / l_{2}$ 交 $l_{1}$ 于 $D$ ，作 $E P / / l_{1}$ ，交 $l_{2}$ 于 $E$ ，得到的平行四边形 $O D P E$ 面积为 $1$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ .$ 若 $Γ$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = t$ 有四个交点，则实数 $t$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a (s i n B + c o s B) = c$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{2} ， a = \sqrt{5} ， D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ ．

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16. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中，点 $A$ ， $C$ 分别是 $E$ 的左、上顶点， $| A C | = \sqrt{5}$ ，且 $E$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $E$ 的方程和离心率；

(2)、过点 $(1，0)$ 且斜率不为零的直线交椭圆于 $R$ ， $S$ 两点，设直线 $R S$ ， $C R$ ， $C S$ 的斜率分别为 $k$ ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = - 3$ ，求 $k$ 的值．

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17. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ， $B C = 8$ ， $A_{1} A = 4 \sqrt{2}$ ， $D D_{1} ⊥ D C$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $D_{1} D M$ ；

(2)、若 $D_{1} D = 4$ ，求直线 $D M$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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18. 若 $ξ$ ， $η$ 是样本空间 $Ω$ 上的两个离散型随机变量，则称 $(ξ ， η)$ 是 $Ω$ 上的二维离散型随机变量或二维随机向量 $.$ 设 $(ξ ， η)$ 的一切可能取值为 $(a_{i} ， b_{j})$ ， $i$ ， $j = 1$ ， $2$ ， $\dots$ ，记 $p_{\vec{η}}$ 表示 $(a_{i} ， b_{j})$ 在 $Ω$ 中出现的概率，其中 $p_{\vec{η}} = P (ξ = a_{i} ， η = b_{j}) = P [(ξ = a_{i}) \cap (η = b_{j})]$ ．

(1)、将三个相同的小球等可能地放入编号为 $1$ ， $2$ ， $3$ 的三个盒子中，记 $1$ 号盒子中的小球个数为 $ξ$ ， $2$ 号盒子中的小球个数为 $η$ ，则 $(ξ ， η)$ 是一个二维随机变量．
$①$ 写出该二维离散型随机变量 $(ξ ， η)$ 的所有可能取值；
$②$ 若 $(m ， n)$ 是 $①$ 中的值，求 $P (ξ = m ， η = n) ($ 结果用 $m$ ， $n$ 表示 $)$ ；

(2)、 $P (ξ = a_{i})$ 称为二维离散型随机变量 $(ξ ， η)$ 关于 $ξ$ 的边缘分布律或边际分布律，求证： $P (ξ = a_{i}) = \sum_{j = 1}^{+ \infty} p_{\vec{η}}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 m l n x - x + \frac{1}{x} (m > 0)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $(1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 + \frac{1}{n^{2}}) < e^{\frac{2}{3}} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ；

(3)、若函数 $g (x) = m^{2} {l n}^{2} x - x - \frac{1}{x} + 2$ 有三个不同的零点，求 $m$ 的取值范围．

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