海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断（三）数学试题

试卷更新日期：2024-03-15 类型：水平会考

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一、/span>､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1 ， - 1)$ ，则 $| \bar{z} + 1 + 2 i | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{13}$ D、5

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2. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 ， b = 3 ， s i n A = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 某机构统计了1000名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为630.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为（）

A、11 B、13 C、22 D、26

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $3 ， a_{2} + a_{4} = 12$ ，则 $a_{5} - a_{1} =$ （）

A、20 B、24 C、28 D、32

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5. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，且 $t a n α = - 2$ ，则 $c o s (α - \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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6. 当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角 $θ$ 与飞机的速度 $v$ ､音速 $c$ 满足关系式 $s i n \frac{θ}{2} = \frac{c}{v}$ .若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点 $30 m$ 处的截面圆面积为（）

A、 $100 π m^{2}$ B、 $300 π m^{2}$ C、 $600 π m^{2}$ D、 $900 π m^{2}$

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7. 已知正实数 $a ， b ， c$ 满足 ${(\frac{1}{3})}^{a} = l o g_{3} a ， {(\frac{1}{2})}^{b} = l o g_{3} b ， c = l o g_{\frac{1}{3}} c$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，与 $C$ 的准线交于点 $P$ （点 $N$ 在线段 $M P$ 上）， $| P N | = 2$ ，则 $| M F | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、/span>､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0) ， P$ 是一个动点，则下列说法正确的是（）

A、若 $| P A | + | P B | = 4$ ，则点 $P$ 的轨迹为椭圆 B、若 $| | P A | - | P B | | = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线 C、若 $| P A |^{2} - | P B |^{2} = 4$ ，则点 $P$ 的轨迹为一条直线 D、若 $| \vec{P A} + \vec{P B} | = | \vec{P A} - \vec{P B} |$ ，则点 $P$ 的轨迹为圆

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10. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ 的一个最大值点为 $x = - \frac{π}{12}$ ，与之相邻的一个零点为 $x = \frac{π}{6}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $λ \vec{A P} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ ，其中 $λ \in [1 ， + ∞)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A ， B ， D ， A_{1} ， P$ 在同一球面上，则 $λ = 1$ B、若 $A B$ $∥$ 平面 $A_{1} D P$ ，则 $λ = 2$ C、若点 $P$ 到 $A ， B ， D ， A_{1}$ 四点的距离相等，则 $λ = 3$ D、若 $A_{1} P ⊥$ 平面 $P B D$ ，则 $λ = \frac{3}{2}$

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三、/span>､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 4} ， B = {a ， a^{2}}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则 $a =$ .

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13. $(x - 2 y + 1)^{6}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， 0 < x ⩽ 1 ， \\ \frac{1}{x} ， x > 1 ， \end{array}$ 若 $f (a x) > f (l n x)$ 对任意 $x \in (1 ， e)$ 恒成立，则 $a =$ .

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四、/span>､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \times 2^{\frac{a_{n}}{3}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $8 ， P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为矩形， $E$ 为棱 $A B$ 的中点，且 $△ P D E$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ .

(1)、求点 $B$ 到平面 $P D E$ 的距离；

(2)、若 $C E ⊥ P E$ ，求平面 $P D E$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值.

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17. 如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线 $\frac{y^{2}}{m^{2}} - x^{2} = 1 (m > 0)$ 的共轭双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k (x - 1)$ 与 $C$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，且以线段 $A B$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切，求 $k^{2}$ 的值.

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18. 某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有 $\frac{1}{2}$ 的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有 $\frac{2}{3}$ 的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有 $\frac{1}{3}$ 的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.

(1)、求第4天是甲管理停车场的概率；

(2)、求第 $n$ 天是甲管理停车场的概率；

(3)、设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为 $X ， Y ， Z$ ，判断 $E (X) ， E (Y) ， E (Z)$ 的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）

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19. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - 2 a x ， a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) ⩾ x^{2} + a^{2}$ 对任意 $x \in (0 ， + ∞)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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