安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题

试卷更新日期：2024-03-15 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1. 设集合 $A = {x | | 2 x - 1 | \leq 3}$ ，集合 $B = {x | Unsupported character \frac{x + 1}{x - 1} > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 已知复数 $z = \frac{(1 + i)^{2}}{\sqrt{3} - i}$ ， $\bar{z}$ 是z的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、2 D、4

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3. 设F是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P ， Q两点，则 $△ P Q F$ 的周长的最小值为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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4. 在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按 $[40 ， 50]$ ， $(50 ， 60]$ ， $(60 ， 70]$ ， $(70 ， 80]$ ， $(80 ， 90]$ ， $(90 ， 100]$ 进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）

A、80 B、78 C、76 D、74

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5. 设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“ ${a_{n}}$ 为递减数列”是“存在正整数 $n_{0}$ ，对任意的正整数 $n > n_{0}$ ， $a_{n} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知点 $P (1 ， 0)$ ， $C (0 ， \sqrt{3})$ ， O是坐标原点，点B满足 $| \vec{B C} | = 1$ ，则 $\vec{O P}$ 与 $\vec{P B}$ 夹角最大值为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} ω x + s i n 2 ω x - 1 (ω > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称，且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上没有最小值，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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8. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A D = 2 A A_{1}$ ，点E是棱 $A B$ 上任意一点（端点除外），则（）

A、不存在点E ，使得 $E C ⊥ D_{1} E$ B、空间中与三条直线 $A_{1} D_{1}$ ， $E C$ ， $B B_{1}$ 都相交的直线有且只有1条 C、过点E与平面 $D_{1} A E$ 和平面 $D A E C$ 所成角都等于 $\frac{π}{8}$ 的直线有且只有1条 D、过点E与三条棱 $A B$ ， $A D$ ， $A A_{1}$ 所成的角都相等的直线有且只有4条

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ ，满足对任意的实数x ， y ，均有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 1$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 1$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (1) + f (- 1) = 1$ C、函数 $f (x)$ 为减函数 D、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 1)$ 对称

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10. 抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F (0 ， 1)$ ，经过点F且倾斜角为 $α$ 的直线l与抛物线C交于A ， B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E ，则（）

A、当 $| A B | = 16$ 时， $α = \frac{π}{3}$ B、 $△ A O B$ 面积的最大值为2 C、点E在一条定直线上 D、设直线 $E F$ 倾斜角为 $β$ ， $| α - β |$ 为定值

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11. 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ 的数列 ${a_{n}}$ 称为卢卡斯数列，则（）

A、存在非零实数t ，使得 ${a_{n + 1} + t a_{n}} (n \in N^{*})$ 为等差数列 B、存在非零实数t ，使得 ${a_{n + 1} + t a_{n}} (n \in N^{*})$ 为等比数列 C、 $3 a_{n + 2} = a_{n + 4} + a_{n} (n \in N^{*})$ D、 $\sum_{i = 1}^{2024} (- 1) a_{i} = a_{2023} - 3$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{10}$ 的展开式中，常数项为．

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13. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径 $A B = 2$ ．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为．

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14. 剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} (a > 0)$ 的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为；以曲线C上点 $(m ， n) (m n \neq 0)$ 为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在平面凸四边形 $A B C D$ 中， $t a n ∠ A B D + t a n ∠ A D B = \frac{2 s i n ∠ B A D}{c o s ∠ A B D}$ ．

(1)、求 $∠ A D B$ ；

(2)、若 $A D = B D = 4$ ， $∠ A C B = ∠ B D C = \frac{π}{6}$ ，求 $C D$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - x + \frac{m}{x} (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \leq 0$ 对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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17. 如图，将边长为2的菱形 $A B D C$ 沿其对角线 $B C$ 对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边 $△ P B C$ 所在平面的两侧，且 $P A = \sqrt{6}$ ， $P D = \sqrt{3}$ ．设E是 $P A$ 的中点．

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $E B D$ 与平面 $A B C$ 夹角的正弦值．

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18. 树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．
第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值 $ξ \geq 12.2$ 时体能指标合格；
第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ， B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．
经过统计，该校学生身体体能指标 $ξ$ 服从正态分布 $N (9 ， 2.56)$ ．
参考数值： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ，
$P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

(1)、请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；

(2)、学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为 $\frac{1}{3}$ ，作答B类试题，每次测试合格的概率为 $\frac{1}{4}$ ，且每次测试相互独立．
①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．
②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X ，求X的分布列和数学期望．

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19. 取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：
设 $x \in R$ ，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作 $[x]$ ，函数 $y = [x]$ 称为取整函数．另外也称 $[x]$ 是x的整数部分，称 ${x} = x - [x]$ 为x的小数部分．

(1)、直接写出 $[l n π]$ 和 ${- \frac{3}{4}}$ 的值；

(2)、设a ， $b \in N^{*}$ ，证明： $a = b [\frac{a}{b}] + b {\frac{a}{b}}$ ，且 $0 \leq b {\frac{a}{b}} \leq b - 1$ ，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；

(3)、对于任意一个大于1的整数a ， a能唯一写为 $a = p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times ⋯ \times p_{k}^{a_{k}}$ ，其中 $p_{i}$ 为质数， $a_{i}$ 为整数，且对任意的 $i < j$ ， $p_{i} < p_{j}$ ， i ， $j \in {1 ， 2 ， 3 ， \dots ， k}$ ，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为 $100 = 2^{2} \times 5^{2}$ ．证明：在 $n!$ 的标准分解式中，质因数 $p_{i}$ （ $p_{i} \leq n$ ， $n > 1$ ， $n \in N^{*}$ ）的指数 $a_{i} = [\frac{n}{p_{i}}] + [\frac{n}{p_{i}^{2}}] + [\frac{n}{p_{i}^{3}}] + ⋯ = \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{n}{p_{i}^{'}}]$ ．

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