2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第四章第1-3节）培优卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x = x (x - 1)$ B、 $a (m + n) = a m + a n$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $x^{2} - 16 + 6 x = (x + 4) (x - 4) + 6 x$

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2. 多项式 $(x^{2} - 2 x + 1)$ 与多项式 $(x - 1) (x + 1)$ 的公因式是(　　)

A、 $x - 1$ B、 $x + 1$ C、 $x^{2} + 1$ D、 $x^{2}$

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3. 已知(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（）

A、-12 B、-32 C、38 D、72

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4. 把 $b^{2} (x - 3) + b (3 - x)$ 因式分解的结果应为（）

A、 $(x - 3) (b^{2} + b)$ B、 $b (x - 3) (b + 1)$ C、 $b (x - 3) (b - 1)$ D、 $(x - 3) (b^{2} - b)$

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5. 已知 $x y = 8$ ， $x + y = 6$ ，则 $x^{2} y + x y^{2}$ 的值为（）

A、14 B、48 C、64 D、36

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6. 对于① $a^{2} b - a b^{2} = a b (a - b)$ ， ② $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6$ ，从左到右的变形，下面的表述正确的是（）．

A、①②都是因式分解 B、①②都是乘法运算 C、①是因式分解，②是乘法运算 D、①是乘法运算，②是因式分解

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7. 若多项式 $x^{2} - 4 x y - 2 y + x + 4 y^{2}$ 因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（）

A、x+2y+1 B、x+2y-1 C、x-2y+1 D、x-2y-1

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8. 小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $a - b$ ， $x - y$ ， $x + y$ ， $a + b$ ， $x^{2} - y^{2}$ ， $a^{2} - b^{2}$ 分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将 $(x^{2} - y^{2}) a^{2} - (x^{2} - y^{2}) b^{2}$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱美 B、齐市游 C、爱我齐市 D、美我齐市

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9. 下列自然数中，能整除 3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸的是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 下列因式分解正确的是（）

A、 $1 - 81 a^{4} = (1 + 9 a^{2}) (1 - 9 a^{2})$ B、 $- 2 y^{2} + 4 y = - 2 y (y + 2)$ C、 $a^{2} + 4 a - 4 = {(a + 2)}^{2}$ D、 $- x^{2} - x + 2 = - (x - 1) (x + 2)$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 下列从左到右的变形：
①(x+1)(x-1)=x²-1．②3a²-6a=3a(a-2)．
③9a²-12a+4=(3a-2)² ． ④3abc³=3c·abc² ．
其中属于因式分解的有(填序号)

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12. 因式分解： $a^{3} - 16 a =$ .

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13. 已知 $a = 7 - 3 b$ ，则代数式 $a^{2} + 6 a b + 9 b^{2}$ 的值为.

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14. 分解因式：mn²+6mn+9m= ．

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15. 多项式 $y^{2} + 2 y + m$ 因式分解后有一个因式(y-1)，则 m 的值为.

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16. 已知xy=3，2x-3y=2，则 $2 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} + \frac{9}{2} x y^{3}$ =.

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 分解因式：

(1)、 $x^{2} (y - 2) - x (2 - y) .$

(2)、 ${(4 a^{2} + b^{2})}^{2} - 16 a^{2} b^{2} .$

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18. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 4 x = y$ ，
原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4 ($ 第一步 $)$
$= y^{2} + 8 y + 16 ($ 第二步 $)$
$= (y + 4)^{2} ($ 第三步 $)$
$= (x^{2} - 4 x + 4)^{2} ($ 第四步 $)$

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；

A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解．

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19. 分解因式 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了a的值，分解的结果是 $(x + 6) (x - 1)$ ，乙看错了b的值，分解的结果为 $(x - 2) (x + 1)$ ．

(1)、求a、b的值．

(2)、分解因式 $x^{2} + a x + b$ 的正确答案是什么？

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20. 综合与实践

图1是一个长为a，宽为b的长方形．现有相同的长方形若干，进行如下操作：

(1)、用四块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图2所示的正方形．请利用图2中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式 $(a + b)^{2}$ ， $(a - b)^{2}$ ， $a b$ 之间的等量关系；

(2)、将六块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图3所示的长方形，通过不同方法计算阴影部分的面积，你能得到什么等式？请写出你的结论并用乘法法则证明这个等式成立；

(3)、现有图1的小长方形若干个，图4边长为a的正方形两个，边长为b的正方形两个请你用这些图形拼成一个长方形（不重叠），使其面积为 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ ．画出你所拼成的长方形，并写出长方形的长和宽分别为多少．

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21. 阅读材料：教科书中提到“ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 和 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：
$x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} - 2 x + 1 - 4 = {(x - 1)}^{2} - 2^{2} = (x - 1 + 2) (x - 1 - 2) = (x + 1) (x - 3)$
求代数式 $x^{2} - 2 x - 3$ 的最小值
$x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} - 2 x + 1 - 4 = {(x - 1)}^{2} - 4$
∵ ${(x - 1)}^{2} \geq 0$ ， ∴当 $x = 1$ 时，代数式 $x^{2} - 2 x - 3$ 有最小值 $- 4$ ．
结合以上材料解决下面的问题：

(1)、分解因式： $x^{2} + 4 x - 5$ ；

(2)、求代数式 $x^{2} + 4 x - 5$ 的最小值；

(3)、当 $a 、 b$ 为何值时， $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} + 4 b + 2024$ 有最小值？最小值是多少？

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22. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$ .
解：将“ $x + y$ ”看成一个整体，设 $x + y = m$ ，则原式 $= m^{2} + 2 m + 1 = {(m + 1)}^{2}$ .
再将 $x + y = m$ 代入，得原式 $= {(x + y + 1)}^{2}$ .
上述解题方法用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请写出下列因式分解的结果：

(1)、因式分解： $1 - 2 (x - y) + {(x - y)}^{2} =$ ；

(2)、因式分解： $25 {(a - 1)}^{2} - 10 (a - 1) + 1 =$ ；

(3)、因式分解： $(y^{2} - 4 y) (y^{2} - 4 y + 8) + 16$ .

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23. [学习材料]拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法。如：

例1、分解因式：x⁴+4y⁴

解：原式=x⁴+4y⁴=x⁴+4x²y²+4y⁴-4x²y²

=(x²+2y²)²-4x²y²=(x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy)

例2、分解因式：x³+5x-6

解：原式=x³-x+6x-6=x(x²-1)+6(x-1)=(x-1)(x²+x+6)

我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如

例3、把多项式a²+b²+4a-6b+13写成A²+B²的形式．

解：原式=a²+4a+4+b²-6b+9=(a+2)²+(b-3)²

[知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)、分解因式：x²+2x-8=

(2)、分解因式：x⁴+4=

(3)、关于x的二次三项式x²-20x+111在x=时，有最小值；

(4)、已知M=x²+6x+4y²-12y+m(x-y均为整数，m是常数)，若M恰能表示成A²+B²的形式，求m的值．

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