广东省湛江市雷州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-14 类型：期末考试

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一、单选题(每小题3分，共30分)

1. 下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（）

A、1，2，3 B、2，3，4 C、14，4，9 D、7，2，4

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3. 要使分式 $\frac{2}{1 - x}$ 有意义，则 $x$ 应满足（　　）

A、 $x > 1$ B、 $x < 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x = 1$

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4. 在平面直角坐标系中，与点 $(1 ， 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} \div a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ D、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$

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6. 如图：在△ABC中，BC=BA，点D在AB上，AC=CD=DB，则∠B=（）。

A、30° B、36° C、45° D、60°

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7. 下列说法正确的是（）

A、两个面积相等的图形一定是全等形 B、两个等边三角形是全等形 C、若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D、两个全等形的周长一定相等

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 $A C$ ， $A B$ 于点 $M$ 、 $N$ ，再分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点 $D$ ，若 $C D = 4$ ， $A B = 25$ ，则 $△ A B D$ 的面积为（）

A、 $100$ B、 $75$ C、 $50$ D、 $25$

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9. 若 $3^{x} = 15 ， 3^{y} = 5$ ，则 $3^{x - y}$ 等于（）

A、5 B、3 C、15 D、1

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10. 如图，点 $C$ 为线段 $A E$ 上一动点（不与 $A 、 E$ 重合），在 $A E$ 同侧分别作等边 $△ A B C$ 和等边 $△ C D E$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $O ， A D$ 与 $B C$ 交于点 $P ， B E$ 与 $C D$ 交于点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，以下五个结论：① $∠ A O B = 60 °$ ；② $P Q ∥ A E$ ；③ $O C$ 平分 $∠ A O E$ ；④ $B O = O E$ ；⑤ $O C + O D = O E$ ，下面的结论正确的有（）个

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题(每小题6分，共18分)

11. 分解因式： $x^{3} - 16 x =$ .

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12. 若 $x^{2} - (k - 2) x + 9$ 是完全平方式，则 $k =$ ．

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13. 计算 $- {(- 3 a)}^{2}$ 的结果是．

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14. 已知点 $A (a ， 2)$ ， $B (3 ， b)$ 关于x轴对称，则 $a b =$ ．

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15.
如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=度．

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16. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．

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三、解答题(总共9道题，共72分)

17. ${(- 1)}^{2022} + {(- \frac{1}{2})}^{2} - {(3.14 - π)}^{0}$

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18. 如图，已知 $A B = D C$ ， $∠ A B C = ∠ D C B$ ，求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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19. 解方程： $\frac{1 + x^{2}}{x - 2} = x - 2$

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20. 先化简 $(\frac{3}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 1}$ ，然后从 $- 1$ ， 0，1，2中选取一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值.

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21. 若x，y满足 $x^{2} + y^{2} = 8$ ， $x y = 2$ ，求下列各式的值.

(1)、 ${(x + y)}^{2}$

(2)、 $x - y$

(3)、 $x^{3} y + x y^{3}$

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22. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和 $B$ 型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的 $1.5$ 倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进 $B$ 型汽车的数量少20辆．

(1)、求每辆 $B$ 型汽车进价是多少万元？

(2)、若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？

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23. 如图1，△ABC中， $∠ A B C = ∠ A C B$ ．点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 边上的点， $B E = C F$ ．

(1)、若 $∠ D E F = ∠ A B C$ ，求证： $D E = E F$ ；

(2)、若 $∠ A + 2 ∠ D E F = 180 °$ ， $B C = 9$ ， $E C = 2 B E$ ，求 $B D$ 的长：

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24. 阅读材料，解决问题
【材料 $1$ 】教材中这样写道：“我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式 $x^{2} + 2 x - 3$ ．
原式 $= x^{2} + 2 x - 3 = x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ．
【材料 $2$ 】因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$
解：把 $x + y$ 看成一个整体，令 $x + y = A$ ，则
原式 $= A^{2} + 2 A + 1 = {(A + 1)}^{2}$ ，再将 $A = x + y$ 重新代入，得：原式 $= {(x + y + 1)}^{2}$
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：

(1)、根据材料 $1$ ，利用配方法进行因式分解： $x^{2} - 6 x + 8$ ；

(2)、根据材料 $2$ ，利用“整体思想”进行因式分解： ${(x - y)}^{2} - 4 (x - y) + 4$ ；

(3)、当 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的三边时，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 a - 6 b - 4 c + 17 = 0$ 时，判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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25. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = C D = 6 c m$ ， $B C = 10 c m$ ，点P从点B出发，以 $2 c m /$ 秒的速度沿 $B C$ 向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒：

(1)、 $B P =$ $c m$ ．（用t的代数式表示）

(2)、如图1，当t为何值时， $△ A B P ≌ △ D C P$ ．

(3)、如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以 $v c m /$ 秒的速度沿 $C D$ 向点D运动．当v为何值，使得 $△ A B P$ 与 $△ P Q C$ 全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由．

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