广西壮族自治区南宁市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 很多学校设计校微时，会融入数学元素，下列校徽的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列式子是分式的是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{x}$ C、 $x + y$ D、 $\frac{x + 1}{2}$

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3. 如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（）

A、三角形的稳定性 B、四边形的不稳定性 C、三角形两边之和大于第三边 D、三角形内角和等于 $180 °$

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4. 北斗芯片的技术日趋成熟，支持北斗三号系统的 $22 n m$ （即 $0.000000022 m$ ）工艺芯片已实现规模化应用，用科学记数法表示 $0.000000022$ 正确的是（）

A、 $0.22 \times 1 0^{- 7}$ B、 $2.2 \times 1 0^{- 7}$ C、 $2.2 \times 1 0^{- 8}$ D、 $22 \times 1 0^{- 9}$

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5. 方程 $\frac{2}{x + 1} = 1$ 的解的情况是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x = 2$ D、无解

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6. 如图，若 $△ A B C ≌ △ D E C ， ∠ A = 35 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $35 °$

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7. 下列各式计算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ D、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{2}$

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8. 如图， $△ A B C$ 的中线 $A D ， B E ， C F$ 交于点 $O$ ，若阴影部分的面积是 $7$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $10$ B、 $14$ C、 $17$ D、 $21$

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9. 如图，用螺丝钉将两根小棒 $A D ， B C$ 的中点固定，利用全等三角形知识，测得 $C D$ 的长就是锥形瓶内径 $A B$ 的长，其中，判定 $△ A O B$ 和 $△ D O C$ 全等的方法是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A S A$ D、 $A A S$

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10. 如图，把 $R_{1} ， R_{2}$ 两个电阻串联起来，线路 $A B$ 上的电流为 $I$ ，电压为 $U$ ，则 $U = I R_{1} + I R_{2}$ ，当 $R_{1} = 9.7 ， R_{2} = 10.3 ， I = 2$ 时， $U$ 的值是（）

A、 $37$ B、 $38$ C、 $39$ D、 $40$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，若 $B C = 5 c m$ ， $B D = 3 c m$ ，则点 $D$ 到 $A B$ 的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为 $x k m / h$ ，则可列方程为（）

A、 $\frac{10}{2 x} - \frac{10}{x} = 20$ B、 $\frac{10}{x} - \frac{10}{2 x} = 20$ C、 $\frac{10}{x} - \frac{10}{2 x} = \frac{1}{3}$ D、 $\frac{10}{2 x} - \frac{10}{x} = \frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 若分式 $\frac{2}{x - 2}$ 有意义，则x满足.

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14. 如图，等边三角形 $A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 上的高， $A B = 2$ ，则 $B D =$ ．

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15. 分解因式： $a^{2} - 9 =$ ．

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16. 如图，在杭州举行的第19届亚运会的奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，其外轮廓为八边形，这个八边形的内角和是度．

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17. 某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为 $a m$ 的正方形，第二块是长为 $(a + 10) m$ ，宽为 $(a + 5) m$ 的长方形，则第二块比第一块的面积多了 $m^{2}$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 5 ， B C = 4 ， A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N ， P$ 是直线 $M N$ 上一点，则 $△ P B C$ 周长的最小值为．

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三、解答题

19. 计算： $a (a^{2} - b) + a^{2} b \div a$ ．

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20. 先化简，再求值： $\frac{2}{x - 1} - \frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$ ，其中 $x = 2$ ．

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (- 4 ， 1)$ ， $B (- 3 ， 3)$ ， $C (- 1 ， 2)$ ．

(1)、画出与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 的坐标；

(2)、在 $x$ 轴上有一点 $D$ ，使得 $△ A D C ≌ △ A B C$ ，请直接写出点 $D$ 的坐标．

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22. 如图，点 $D ， E$ 分别在 $A B ， A C$ 上， $A B = A C ， A D = A E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ；

(2)、若 $∠ A = 50 ° ， ∠ A C D = 45 °$ ，求 $∠ C B E$ 的度数．

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23. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．

(1)、如图 $1$ ，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法 $1$ ： $S_{大正方形} =$ ；方法 $2$ ： $S_{大正方形} =$ ；根据以上信息，可以得到的等式是；

(2)、如图 $2$ ，大正方形是由四个边长分别为 $a ， b ， c$ 的直角三角形（ $c$ 为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到 $a ， b ， c$ 之间的数量关系；

(3)、在（ $2$ ）的条件下，若 $a = 3 ， b = 4$ ，求斜边 $c$ 的值．

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24. 为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的 $4$ 倍，用这条自动分拣流水线分拣 $3000$ 件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用 $3$ 小时．

(1)、这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？

(2)、新年将至，某转运中心预计每小时分拣的包裹量达 $15000$ 件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？

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25. 综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.

(1)、【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点 $A$ 与 $∠ P R Q$ 的顶点 $R$ 重合， $A B ， A D$ 分别放置在角的两边 $R P ， R Q$ 上，并过点 $A ， C$ 画射线 $A E$ ，求证： $A E$ 是 $∠ P R Q$ 的平分线；

(2)、【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点 $A$ 处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点 $B ， D$ 紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点 $C$ ，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．

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26. 探究与证明：
我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？

(1)、【观察猜想】如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，猜想 $∠ C$ 与 $∠ B$ 的大小关系；

(2)、【操作证明】如图 $2$ ，将 $△ A B C$ 折叠，使边 $A C$ 落在 $A B$ 上，点 $C$ 落在 $A B$ 上的 $D$ 点，折线 $A E$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，发现，由 $∠ A D E = ∠ B + ∠ D E B$ ，可得 $∠ A D E > ∠ B$ ， $⋯$ ，请证明（ $1$ ）中所猜想的结论；

(3)、【类比探究】如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B > ∠ B$ ，小邕同学运用类似的操作进行探究：将 $△ A B C$ 折叠，使点 $B$ 与点 $C$ 重合，折线交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $F C$ ，请证明： $A B > A C$ ．

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