贵州省贵阳市重点中学2023-2024学年高三上学期高考适应性月考卷（五）数学试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $M = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $N = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0 ， x \in N^{*}}$ ，则 $M ∪ N$ 中的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{3 + i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，且它们的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则 $| \vec{a} + \sqrt{3} \vec{b} | =$ （）

A、7 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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4. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{8}{9}$

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5. 秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）.南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献.设 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，若 $a^{2} s i n C = 2 s i n A$ ， $2 a c (c o s B + 1) = 6$ ，则由“三斜求积术”公式可得 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，这些古建筑除了历史背景方面的研究价值外，还有着几何结构的研究意义.例如古建筑屋顶的结构形式就分为：圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等，已知某古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥，其母线长 $5 m$ ，底面的半径为 $3 m$ ，则该屋顶的体积约为（）

A、 $12 π m^{3}$ B、 $10 π m^{3}$ C、 $9 π m^{3}$ D、 $8 π m^{3}$

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中所有项均为正数， $a_{2023} - a_{2022} = 2 a_{2021}$ ，若 $a_{m} a_{n} = a_{3}^{2} (m ， n \in N^{*})$ ，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{9}{8}$

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8. 已知直线 $l$ 过双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F$ ，且与双曲线的左支交于 $B$ ， $C$ 两点，并满足 $\vec{C B} = 4 \vec{F B}$ ，点 $A$ 与点 $B$ 关于原点对称，若 $A F ⊥ B F$ ，则双曲线 $E$ 的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) =$ $1 + \frac{a - 1}{2^{x} + 1}$ ，则（）

A、 $a = - 2$ B、 $a = - 1$ C、 $f (48) < f (- 25) < f (27)$ D、 $f (- 25) < f (48) < f (27)$

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10. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点 $A$ ， $B$ 始终满足 $| A B | = 4$ ，直线 $l ： x = m y + 1$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ （ $M$ ， $A$ ， $B$ 三点不共线），则（）

A、直线 $l$ 与圆 $C$ 恒有交点 B、 $\vec{A M} \cdot \vec{M B} > 0$ C、 $△ A B M$ 的面积的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最小值为 $2 \sqrt{3}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E$ ， $M$ 分别为线段 $A D_{1}$ ， $A_{1} C$ 的中点，点 $N$ 满足 $\vec{B_{1} N} = λ \vec{B_{1} C_{1}} (λ \in [0 ， 1])$ ，点 $H$ 为棱 $A A_{1}$ （包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $E M N$ 截正方体得到的截面多边形是矩形 B、二面角 $D_{1} - A B_{1} - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ C、存在 $λ$ ，使得平面 $E M N ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ D、若 $C H ⊥$ 平面 $β$ ，则直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e l n x}{x} + \frac{x}{e l n x + x}$ 的图象与直线 $y = k (k \in R)$ 有三个交点，记三个交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在实数 $k$ ，使得 $x_{1} = 1$ B、 $x_{3} > e$ C、 $k \in (1 ， \frac{3}{2})$ D、 ${(\frac{l n x_{1}}{x_{1}} + \frac{1}{e})}^{2} (\frac{l n x_{2}}{x_{2}} + \frac{1}{e}) (\frac{l n x_{3}}{x_{3}} + \frac{1}{e})$ 为定值

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. ${(x + \frac{2}{x})}^{10}$ 的二项展开式中， $x^{4}$ 项的系数为.

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14. “圆锥容球”是指圆锥形容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的母线与底面所成的角为 $60 °$ ，底面半径为2，则该圆锥内切球的表面积为.（容器壁的厚度忽略不计）

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15. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑” $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A B + B C = 6$ ，则“鳖臑” $P - A B C$ 外接球体积的最小值为.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 满足： $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{c} = t \vec{a} + \vec{b} (t \in [0 ， 1])$ ， $| \vec{c} - \vec{d} | = \sqrt{2}$ ，设向量 $\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b}$ （ $m$ ， $n$ 为实数），则 $m + n$ 的取值范围为.

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四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 2 ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $4 π$ .

(1)、求 $ω$ 的值，并写出 $f (x)$ 的对称轴方程；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $(2 a - c) c o s B = b \cdot c o s C$ ，求函数 $f (A)$ 的取值范围.

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18. 已知数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为等差数列， $3 a_{5} - 5 a_{3} = 30$ ，且 $a_{2} = 8$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{n}$ .

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19. 某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”.
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立.

(1)、分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；

(2)、设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、若 $A_{1} B_{1} = C C_{1} = 2$ ，二面角 $C_{1} - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求平面 $A C_{1} D$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且 $| A F | = 2$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过 $F$ 且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $D$ ， $E$ 两点，椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，证明：直线 $A_{1} D$ 与 $A_{2} E$ 的交点在定直线上.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x + s i n a x + 1$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $g (x) = f (x) - 1$ 的值域；

(2)、是否存在正整数 $a$ ，使得 $\frac{f (x) - s i n x - 1}{x} > 3 c o s x$ 恒成立？若存在，求出正整数 $a$ 的取值集合；若不存在，请说明理由.

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