湖北省武汉市2024届高三下学期二调考后提升卷数学试题训练一

试卷更新日期：2024-03-14 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - \frac{1}{4} \leq 0}$ ， $B = {x | \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $[0 ， 1]$

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2. 若 $\frac{1 + i}{a - i} = i$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位），则 $| 1 - a i | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 若 $2^{x} = \frac{5}{2} ， l g 2 \approx 0.3010$ ，则 $x$ 的值约为（）

A、1.322 B、1.410 C、1.507 D、1.669

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4. 某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）

A、124 B、246 C、114 D、108

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5. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，一条平行于 $x$ 轴的光线从点 $M (2 ， 1)$ 射出，经过拋物线上的点 $A$ 反射后，再经抛物线上的另一点 $B$ 射出，则 $△ A B M$ 的周长为（）

A、 $\frac{25}{4} + \sqrt{13}$ B、 $\frac{7}{2} + \sqrt{29}$ C、 $8 + \sqrt{13}$ D、 $8 + \sqrt{29}$

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6. 在数列 ${a_{n}}$ 中，如果存在正整数 $T$ ，使得 $a_{m + T} = a_{m}$ ，对于任意的正整数 $m$ 均成立，那么称数列 ${a_{n}}$ 为周期数列，其中 $T$ 叫做数列 ${a_{n}}$ 的周期．已知数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n + 1} = | x_{n} - x_{n - 1} | (n \geq 2 ， n \in N)$ ，如果 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = a (a \in R ， a \neq 0)$ ，当数列 ${x_{n}}$ 的周期最小时，该数列前2024项的和是（）

A、674 B、1348 C、1350 D、2024

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7. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4 \sqrt{3} ， A A_{1} = \sqrt{10}$ ，点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内，且 $A_{1} P = 4$ ，则 $P$ 的轨迹长度是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3} π}{6}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $6 π$ D、 $12 π$

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8. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，当 $x \in [0 ， π)$ 时， $f (x) = s i n x$ ，若对任意 $x \in [0 ， + \infty)$ ，总有 $f (x + π) = 2 f (x)$ 成立，对任意的 $a ， b \in [m ， n]$ ， $f (a) - f (b) \leq 4$ 恒成立，则 $n - m$ 的最大值为（）

A、 $6 π$ B、 $5 π$ C、 $\frac{37 π}{6}$ D、 $\frac{19 π}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{A B} = (\frac{1}{2} ， 3)$ 在向量 $\vec{A C} = (2 ， 1)$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{4}{5} ， \frac{2}{5})$ B、“ $m = 2$ ”是“直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行”的充要条件 C、若正数a，b满足 $a + b = 2$ ，且 $a > b$ ，则 $l n a + l n b < 0$ D、已知 $α ， β$ 为两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若 $m ⊥ α ， n / / β ， α / / β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点 $A ， B ， C ， D$ 在同一个平面内，如果四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 与 $D F$ 所成角大小为 $\frac{π}{3}$ B、二面角 $A - E B - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、此八面体一定存在外接球 D、此八面体的内切球表面积为 $\frac{8 π}{3}$

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11. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x - 1) = - f (x + 1)$ ， $f (x)$ 的部分解析式为 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - x + 1 ， 0 < x \leq 1 \\ l o g_{\frac{1}{2}} (2 x - \frac{7}{4}) ， x > 1 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{1}{4} ， \frac{1}{4}]$ 上单调递减 B、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， n)$ 内满足 $f (x) < 1$ 恒成立，则 $n \in (0 ， \frac{1}{2}]$ C、存在实数 $k$ ，使得 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = k x$ 有7个交点 D、已知方程 $f (x) = m (m > 0)$ 的解为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} > - \frac{1}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .如果 $2 b = a + c$ ， $B = 30 °$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，那么 $b$ =.

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13. 已知P为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点，F₁ ， F₂分别为C的左、右焦点，C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线交 $F_{1} F_{2}$ 于点Q，则 $\frac{| P F_{1} |}{| Q F_{1} |} =$ ．

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14. 从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级， $⋯$ ，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 ${a_{n}}$ ，且 $l o g_{2} a_{1} + l o g_{2} a_{2} + ⋯ + l o g_{2} a_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${n \cdot a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ C D ， A D = 2 B C = 2 ， C D = \sqrt{3} ， P B = \sqrt{6}$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、点 $M$ 为棱 $P C$ 的中点，求 $B M$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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17. 下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）与年份t的散点图.

(1)、根据散点图推断变量y与t是否线性相关，并用相关系数加以说明；

(2)、建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
$\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 9.06$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 39.33$ ， $\sum_{i = 1} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 0.36$ ， $\sqrt{7} \approx 2.646$ .
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i} - n \bar{t} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} {t_{i}}^{2} - n {\bar{t}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ；相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

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18. 已知 $P (4 ， 3)$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点， $M ， N$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右顶点，且直线 $P M$ 与 $P N$ 的斜率之和为 $2$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、不过点 $P$ 的直线 $l ： y = k x + t$ 与双曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若直线 $P A ， P B$ 的倾斜角分别为 $α$ 和 $β$ ，且 $α + β = \frac{3 π}{4}$ ，证明：直线 $l$ 过定点．

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19. 已知 $a < 1$ ，函数 $f (x) = x s i n x + a c o s x$ ， $x \in (0 ， π)$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x)$ 存在唯一的极值点；

(3)、若存在 $a$ ，使得 $f (x) < - \frac{1}{2} a + b$ 对任意 $x \in (0 ， π)$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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