云南省保山市腾冲民族中学2023-2024学年高一下学期数学开学试卷（A卷）

试卷更新日期：2024-03-14 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $M = {x | - 2 < x < 4}$ ， $N = {x | x \geq - 1}$ ，则 $N \cap (∁_{R} M) =$ （）

A、 ${x | x \geq - 1}$ B、 ${x | x \geq 4}$ C、 ${x | x \leq - 2}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 4}$

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2. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} l o g_{3} (x + 3) ， x > 0 \\ 2^{- x} + 2 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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3. 若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{3} + 2 x^{2} + 3 x ， x \geq 0 \\ x^{3} + a x^{2} + b x ， x < 0 \end{array}$ 为奇函数，则实数 $a$ ， $b$ 的值分别为（）

A、 $2$ ， $3$ B、 $- 2$ ， $3$ C、 $- 2$ ， $- 3$ D、 $2$ ， $- 3$

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4. 函数 $y = 2^{x} - x^{2}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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6. 设 $a = {l o g}_{3} 7$ ， $b = 2^{1.3}$ ， $c = {0.7}^{0.3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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7. 函数 $f (x) = \frac{3}{x} - l n x$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0，1)$ B、 $(1，2)$ C、 $(2，3)$ D、 $(3，4)$

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8. 函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{4}) - 2 \sqrt{2} {s i n}^{2} x$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{π}{4}$

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二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列叙述中正确的是（）

A、 ${0} \subseteq Z$ B、若集合 $A$ ， $B$ 是全集 $U$ 的两个子集，且 $A \subseteq B$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) = ⌀$ C、命题“ $\forall x \in Z$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in Z$ ， $x^{2} \leq 0$ ” D、命题“ $\forall x \in Z$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定是“ $\forall x \in Z$ ， $x^{2} < 0$ ”

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 单调递减，则（）

A、 $f (f (1)) < f (f (2))$ B、 $f (g (1)) < f (g (2))$ C、 $g (f (1)) < g (f (2))$ D、 $g (g (1)) < g (g (2))$

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11. 已知函数 $f (x) = {l o g}_{2} (2^{x} + 8^{x}) - 2 x$ ，以下判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 是增函数 B、 $f (x)$ 有最小值 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 是偶函数

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12. 关于三角函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3}) - 1$ 的性质，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{3} ， 0)$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{11 π}{12}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 上单调

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三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 设单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ ．

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14. 命题“ $\exists x \in (- 1，2)$ ， $2 x^{2} + a = 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知幂函数 $f (x) = (m - 1) x^{m}$ 的图象过点 $M (2 ， a)$ ，则 $a =$ ．

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16. 若 $f (x) = \{\begin{array}{l} s i n \frac{π x}{6} (x \leq 0) \\ 1 - 2 x (x > 0) \end{array}$ ，则 $f [f (3)] =$ ．

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四、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求不等式 $| f (x) | \geq 2$ 的解集．

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18. 已知 $m \in R$ ，命题 $p$ ： $m^{2} - m - 6 < 0$ 命题 $q$ ：函数 $f (x) = 2 x^{2} - m x + 1$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在零点．

(1)、若 $p$ 是真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ ， $q$ 中有一个为真命题，另一个为假命题，求 $m$ 的取值范围．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (1，2 x)$ ， $\vec{b} = (x ， 3)$ ， $\vec{c} = (- 2，0)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) / / (2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求实数 $x$ 的值．

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20. 已知 $f (α) = \frac{s i n (\frac{π}{2} + α) c o s (π + α) s i n (- α)}{s i n (\frac{3 π}{2} - α) c o s (2 π - α) t a n (π - α)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，求 ${c o s}^{2} (\frac{π}{6} + α) + c o s (\frac{2 π}{3} + α)$ 的值．

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