四川省仁寿重点学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：开学考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = {x | 2 \leq x \leq 5 ， x \in Z}$ ， $N = {y \in R | 3 \leq y \leq 6}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${3 ， 4 ， 5}$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $[2 ， 6]$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$

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3. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $l n x < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x < 1$ ， $l n x \geq 0$ B、 $\forall x \geq 1$ ， $l n x \geq 0$ C、 $\forall x < 1$ ， $l n x < 0$ D、 $\exists x \geq 1$ ， $l n x \geq 0$

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4. 用二分法求函数 $f (x) = l n x + 2 x - 6$ 在 $x \in (2 ， 3)$ 内零点近似值的过程中，得到 $f (2) < 0 ， f (2.5) < 0 ， f (2.75) > 0$ ，则函数 $f (x)$ 的零点落在区间（）

A、 $(2 ， 2.5)$ B、 $(2.5 ， 2.75)$ C、 $(2.75 ， 3)$ D、不能确定

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5. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(m ， - 5)$ ， $c o s α = \frac{12}{13}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\pm \frac{12}{5}$ B、 $\pm \frac{5}{12}$ C、 $- \frac{5}{12}$ D、 $- \frac{12}{5}$

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6. 一种药在病人血液中的量保持在 $1500$ $m g$ 以上，才有疗效；而低于 $500$ $m g$ ，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药 $2500$ $m g$ ，如果药在血液中以每小时 $20 %$ 的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（）小时．（精确到 $0.1$ $h$ ，参考数据： $l g 2 \approx 0.30 ， l g 3 \approx 0.48 ， l g 5 \approx 0.70$ ）

A、 $2.2$ B、 $5.8$ C、 $7.0$ D、 $8.2$

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7. 已知 $a = 3 l o g_{3} 2$ ， $b = l o g_{2} 5$ ， $c = c o s \frac{3 π}{4}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f^{2} (x) + b f (x) + \frac{1}{4} = 0$ 有六个相异实根，则实数 $b$ 的取值范围（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- \frac{5}{4} ， - 1)$ C、 $(- \frac{5}{4} ， 0)$ D、 $(- 2 ， 0)$

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二、多选题

9. 若“ $x < 1$ ”是“ $x < m$ ”的必要不充分条件，则实数 $m$ 的值可以是（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、2

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10. 若实数 $m$ ， $n > 0$ ，满足 $2 m + n = 1$ ．以下选项中正确的有（）

A、 $m n$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{m + 1} + \frac{9}{n + 1}$ 的最小值为 $\frac{25}{4}$ D、 $4 m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{array}$ ，称为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ C、 $\forall x \in R ， f (f (x)) = 1$ D、任意一个非零有理数 $T$ ， $f (x + T) = f (x)$ 对任意 $x ∈ R$ 恒成立

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三、填空题

13. 幂函数 $f (x)$ 的图像经过点 $P (4 ， 2)$ ，则 $f (9) =$ .

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14. 化简求值： $2 (l g 5)^{2} + 2 l g 2 \times l g 5 + l g 4 =$ ．

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15. 函数 $f (x) = s i n^{2} x + c o s x$ ， $x \in [0 ， π]$ 的值域是.

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4})$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期不小于 $π$ ，且 $f (x) \leq f (\frac{π}{4})$ 恒成立，则 $ω$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 12 x + 27 \leq 0}$ ， $B = {x | 2 < x < 7}$ ， $C = {x | 2 m - 1 < x < m + 1}$ .

(1)、求 $A ∩ B ， A ∪ B$ ；

(2)、若 $B ∩ C = C$ ，求m的取值范围.

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18. 已知 $α$ 是第二象限角，且 $2 s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α - 2 c o s^{2} α = 0$ .

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n (\frac{π}{2} - α) + s i n (π + α)}{3 c o s (\frac{3 π}{2} - α) + c o s (- α)}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期以及单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值及相应的 $x$ 值.

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20. 在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投入生产成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = {\begin{array}{l} 3 x^{2} + 6 x ， 0 < x < 6 ， \\ 32 x + \frac{128}{x + 1} - 100 ， x \geq 6 ， \end{array}$ 每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．

(1)、求利润 $f (x)$ （万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；

(2)、问生产多少册纪念册时，利润 $f (x)$ 最大？并求出最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = b + l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $(4 ， 1)$ 和 $(1 ， - 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、令 $g (x) = 2 f (x + 1) - f (x)$ ，求 $g (x)$ 的最小值及取最小值时x的值．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{1 + a x}{x - 1}$ ， $g (x) = l o g_{2} \frac{x - 1}{x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求实数a的值；

(2)、若对任意 $t \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 在区间 $[t + 1 ， t + 3]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

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四川省仁寿重点学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、多选题

三、 填空题

四、 解答题

三、填空题

四、解答题