四川省泸州市马街中学2023-2024学年高三下学期数学开学试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：开学考试

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一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集 $U = {1，2 ， 3，4 ， 5}$ ，集合 $A = {1，3 ， 5}$ ，集合 $B = {3，4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${4}$ C、 ${3，4}$ D、 ${2，3 ， 4}$

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2. 如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数 $z = (2 - a i) i$ 为“等部复数”，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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3. 某学校高一年级有 $900$ 名学生，现采用系统抽样方法，从中抽取 $45$ 人作问卷调查，将 $900$ 人按 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\dots$ 、 $900$ 随机编号，则抽取的 $45$ 人中，编号落入区间 $[201，760]$ 的人数为（）

A、 $26$ B、 $27$ C、 $28$ D、 $29$

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4. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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5. 已知 $2 x_{0} + y_{0} = 6$ ，则圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与直线 $x_{0} x + y_{0} y = 2$ 的位置关系是（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、不确定

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，过点 $A$ 向 $∠ B A D$ 所在区域等可能任作一条射线 $A P$ ，已知事件“射线 $A P$ 与线段 $B C$ 有公共点”发生的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则 $B C$ 边的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3$ D、 $3 \sqrt{3}$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $4 a_{3} = 3 a_{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 中一定为零的项是（）

A、 $a_{6}$ B、 $a_{8}$ C、 $a_{10}$ D、 $a_{12}$

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8. 三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $G$ 为棱 $A D$ 的中点，若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{B D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C G} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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9. 已知 $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $s i n β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $α$ ， $β$ 均为锐角，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10. 千年宝地，一马当先 $. 2023$ 年 $10$ 月 $15$ 日 $7$ 时 $30$ 分，吉利银河 $\cdot 2023$ 宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广场鸣枪开跑，比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共 $2$ 万人的热情参与 $.$ 为确保活动顺利举行，组委会自起点开始大约每隔 $5$ 公里设置一个饮水站 $($ 志愿者为选手递送饮料或饮用水，为选手提供能量补给 $)$ ，两个饮水站中间设置一个用水站 $($ 志愿者为选手递送湿毛巾等，协助医务工作者 $)$ ，共 $15$ 个饮用水服务点，分别由含甲、乙在内的 $15$ 支志愿者服务队负责，则甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的概率为（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{3}{5}$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $P (0，2)$ ， $Q (0 ， - 2)$ ，过点 $P$ 的直线 $l_{1}$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ ，过点 $Q$ 的直线 $l_{2}$ 与椭圆交于 $C$ ， $D$ ，且满足 $l_{1} / / l_{2}$ ，设 $A B$ 和 $C D$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，若四边形 $P M Q N$ 为矩形，且面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} + 2 k l n x - k x$ ，若 $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的唯一极值点，则实数 $k$ 的取值范围是
（）

A、 $(- \infty ， \frac{e^{2}}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{e}{2}]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x - y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为．

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{4} = 4$ ， $a_{3} + a_{6} = 12$ ，则 $a_{7} + a_{10} =$ ．

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15. 若正数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + 2 y - 2 x y = 0$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为．

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16. 已知双曲线 $C$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，离心率为 $e$ ，动点 $B$ 在双曲线 $C$ 的右支上且不与右顶点重合，若 $∠ B F A = e ∠ B A F$ 恒成立，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为．

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三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边，已知在 $a = \sqrt{13}$ ， $b > c$ ， $\vec{m} = (c o s C ， c o s A)$ ， $\vec{n} = (a ， c - 2 b)$ 且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ 大小；

(2)、若 $△ A B C$ 面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，求 $A D$ 的长．

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18. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $D D_{1}$ 的中点，

(1)、求证： $C F / /$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、求平面 $A_{1} D E$ 与平面 $A_{1} D A$ 夹角的余弦值．

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19. 椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右顶点为 $A$ ，设点 $O$ 为坐标原点，点 $B$ 为椭圆 $E$ 上异于左、右顶点的动点， $△ O A B$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l$ ： $x = t$ 交 $x$ 轴于点 $P$ ，其中 $t > a$ ，直线 $P B$ 交椭圆 $E$ 于另一点 $C$ ，直线 $B A$ 和 $C A$ 分别交直线 $l$ 于点 $M$ 和 $N$ ，若 $O$ ， $A$ ， $M$ ， $N$ 四点共圆，求 $t$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + m x + 1$ ， $g (x) = x (e^{x} - 1)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的最大值是 $0$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若对于定义域内任意 $x$ ， $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = 1 + c o s θ + s i n θ ， \\ y = c o s θ - s i n θ \end{array} (θ$ 为参数 $)$ ，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = t c o s α ， \\ y = - \sqrt{3} + t s i n α \end{array} ($ 其中 $t$ 为参数， $0 \leq α < π)$ ，且直线 $l$ 和曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 经过的定点 $P$ 的坐标；

(2)、在 $(1)$ 的条件下，若 $\frac{1}{| P M |} + \frac{1}{| P N |} = 2$ ，求直线 $l$ 的普通方程．

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22. 已知函数 $f (x) = | a - 3 x | - | 2 + x |$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，解不等式 $f (x) \leq 3$ ；

(2)、若存在实数 $x$ ，使得不等式 $f (x) \geq 1 - a + 2 | 2 + x |$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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