湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学2023-2024学年高一下学期数学入学考试试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：开学考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x | x < \frac{3}{2}}$ ， $B = {x | 1 - 2 x > 0}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {x | x < \frac{1}{2}}$ B、 $A ∩ B = ϕ$ C、 $A ∪ B = {x | x < \frac{1}{2}}$ D、 $A ∪ B = R$

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2. 函数 $y = l o g_{a} (x - 1) + 4$ 的图象恒过定点 $P$ ，点 $P$ 在幂函数 $y = f (x)$ 的图象上，则 $f (3)$ 等于（）

A、2 B、3 C、8 D、9

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3. 已知 $s i n (a + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (a - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 已知 $a = \frac{1}{l o g_{8} 32}$ ， $b = π^{0.01}$ ， $c = s i n 1$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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5. 函数 $f (x)$ 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下： $f (1) = - 2$ ， $f (1.5) = 0.625$ ， $f (1.25) = - 0.984$ ， $f (1.375) = - 0.260$ ， $f (1.4375) = 0.165$ ， $f (1.40625) = - 0.052$ ，那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）

A、1.5 B、1.25 C、1.41 D、1.44

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6. 已知函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是增函数，那么 $f (x) = l o g_{a} \frac{1}{x - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若θ∈（0， $\frac{π}{2}$ ），则y= $\frac{1}{{sin}^{2} θ}$ + $\frac{9}{{cos}^{2} θ}$ 的取值范围为（）

A、 $[6 ， + \infty)$ B、 $[10 ， + \infty)$ C、 $[12 ， + \infty)$ D、 $[16 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + l o g_{2} | x |$ ，则不等式 $f (x + 1) - f (2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， - 1) ∪ (- 1 ， 1)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (3 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1) ∪ (1 ， 3)$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分）

9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in N$ ， $2 x$ 为偶数 C、所有菱形的四条边都相等 D、 $π$ 是无理数

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10. 已知 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{a}{b} \geq 3$ C、 $2^{a} + 2^{b} \geq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$

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11. 下图是函数 $y = s i n (ω x + φ)$ 的部分图象，则 $y = s i n (ω x + φ)$ 的解析式可以是（）

A、 $y = s i n (x + \frac{π}{3})$ B、 $y = s i n (\frac{π}{3} - 2 x)$ C、 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = c o s (\frac{5 π}{6} - 2 x)$

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12. 函数 $f (x) = s i n 2 x - \sqrt{3} (c o s^{2} x - s i n^{2} x)$ 的图象为 $C$ ，如下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + \frac{π}{6}) + f (\frac{π}{6} - x) = 0$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12})$ 上是增函数 D、由 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得曲线 $C$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）

13. 不等式 $- x^{2} + 7 x > 6$ 解集为．

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14. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 2) x + 4 a + 1 ， & x \leq 2 \\ 2 a^{x - 1} & ， x > 2 \end{array}$ 若 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围为．

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15. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I (t)$ （ $t$ 单位：天）的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.24 (t - 53)}}$ ，其中 $K$ 为最大确诊病例数．当 $I (t^{*}) = 0.9 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为天．（注： $e$ 为自然对数的底数， $l n 9 \approx 2.2$ ）

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16. 将函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x (a ， b \in R ， a \neq 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到一个偶函数图象，则 $\frac{b}{a} =$ ．

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四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合 $A = {x | a - 1 < x < 2 a + 1}$ ，函数 $y = l g (x - x^{2})$ 的定义域为 $B$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求集合 $A ∩ ∁_{R} B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 解集为 ${x | x < 1 或 x > b} (b > 1)$

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 \leq φ \leq π)$ 为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 $\sqrt{4 + π^{2}}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $t a n α + \frac{1}{t a n α} = 5$ ，求 $\frac{\sqrt{2} f (2 α - \frac{π}{4}) - 1}{1 - t a n α}$ 的值．

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20. 已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：

$v$

0

1

2

3

$Q$

0

0.7

1.6

3.3

为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av³＋bv²＋cv ， Q＝0.5^v＋a ， Q＝klog_av＋b ．

(1)、试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)、该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．

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21. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递增区间．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (2^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 为偶函数．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{x}{4} + m} 4^{x} - 1$ ， $x \in [0 ， l o g_{2} 5]$ ，是否存在实数 $m$ 使得 $g (x)$ 的最小值为0，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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$v$	0	1	2	3
$Q$	0	0.7	1.6	3.3