湖南省常德市汉寿县重点中学2023-2024学年高二下学期数学入学考试试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：开学考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 函数 $f (x) = x + s i n x$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的平均变化率为（）

A、1 B、2 C、 $π$ D、0

查看试题解析
2. ${(s i n 15 ° + c o s 15 °)}^{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

查看试题解析
3. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = 2 \cdot \frac{n - 1}{n} (n ⩾ 2)$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{2^{9}}{10}$ B、 $\frac{2^{8}}{9}$ C、 $\frac{2^{8}}{9}$ D、 $\frac{2^{6}}{7}$

查看试题解析
4. 已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$

查看试题解析
5. 设抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 上一点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 $d_{1}$ ，到直线 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 的距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{16}{3}$ D、5

查看试题解析
6. 若直线 $a x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $a^{2} x + y - 2 = 0$ 互相平行，那么 $a$ 的值等于（）

A、1或0 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、0或 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
7. 如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点.现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（）

A、 $\frac{3}{4}$ 米 B、 $\frac{3}{8}$ 米 C、 $\frac{3}{16}$ 米 D、 $\frac{3}{32}$ 米

查看试题解析
8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l ： y = x + m$ 与椭圆C交于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的面积是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{32}{9}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d ，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 8$ ， $S_{8} = - 32$ ，以下命题正确的是（）

A、 $S_{n}$ 的最大值为 $\frac{21}{2}$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是公差为 $- \frac{3}{2}$ 的等差数列 C、 $a_{n}$ 是4的倍数 D、 $S_{5} < 0$

查看试题解析
10. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(l n 2)}^{^{'}} = \frac{1}{2}$ B、 ${(x - \frac{1}{x})}^{′} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(2^{x})}^{^{'}} = 2^{x} \cdot l n 2$ D、 ${(x e^{x})}^{^{'}} = e^{x}$

查看试题解析
11. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ （上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、它的表面积为 $5 + 3 \sqrt{7}$ B、它的外接球的表面积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ C、侧棱与下底面所成的角为60° D、它的体积比棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体的体积大

查看试题解析
12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线交于A ， B两点，A在第一象限，若 $△ A B F_{1}$ 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（）

A、双曲线C的离心率为 $\sqrt{3}$ B、 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{3} a^{2}$ C、 $△ A F_{1} F_{2}$ 内切圆半径为 $(\sqrt{3} - 1) a$ D、 $△ B F_{1} F_{2}$ 的内心在直线 $x = \pm a$ 上

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $f (x + h) - f (x) = 2 h x + 5 h + h^{2}$ ，用割线逼近切线的方法可以求得 $f^{'} (x) =$ .

查看试题解析
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 $A$ ， $B$ 的距离之比为定值 $λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点 $M (x ， y)$ 到两个定点 $A (1 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ 的距离之比为2，则 $\frac{y}{x - 1}$ 的取值范围为.

查看试题解析
15. 已知空间三点A（0，2，3），B（2，5，2），C（-2，3，6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为．

查看试题解析
16. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{{(a_{n})}^{2}}{2023} (n \in N^{*})$ ，记 $T_{n} = (1 - a_{1}) (1 - a_{2}) ⋯ (1 - a_{n})$ ，则使得 $T_{n} < 0$ 成立的最小正整数n是.

查看试题解析

四、解答题

17. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 16$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项为 $a_{1} + a_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

查看试题解析
18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1}$ 为圆心、3为半径的圆与以 $F_{2}$ 为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $H (0 ， 2)$ 的直线l交椭圆于A ， B两点，点D为椭圆上一点，且四边形OADB为平行四边形，求 $△ A O B$ 的面积．

查看试题解析
19. 设抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F ，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $y_{1} y_{2} = - 4$ ．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、已知点 $P (- 1 ， k)$ ，且 $△ P A B$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求k的值．

查看试题解析
20. 刍甍（chumeng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：”底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $B A E$ 和平面 $C D E$ 交于 $E F$ ．

(1)、求证： $A B ∥ E F$ ；

(2)、若平面 $C D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 4 ， E F = 2 ， E D = F C ， A F = 3 \sqrt{3}$ ，求平面 $A D E$ 和平面 $B A E$ 夹角的余弦值．

查看试题解析
21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{3} = 12$ ， $S_{3} = 15$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{k} = 120$ ，求k的值．

查看试题解析
22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2 ， 0)$ ，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M ， N两点.当直线l垂直于x轴时， $| M N | = 12$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若直线 $A M$ ， $A N$ 分别交直线 $x = 1$ 于P ， Q两点，求证：A ， P ， F ， Q四点共圆.

查看试题解析