湖北省武汉市2023-2024学年高三下学期数学2月调研考试试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} + x - 1 < 0}$ ， $B = {y | y = l g (x^{2} + 1)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0]$ B、 $[0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0]$ D、 $[0 ， 1)$

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2. 复数 $z$ 满足 $2 z + 3 \bar{z} = 5 - 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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3. 已知 $a b \neq 1$ ， $l o g_{a} m = 2$ ， $l o g_{b} m = 3$ ，则 $l o g_{a b} m =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{5}$

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4. 将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 设抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，过抛物线上点 $P$ 作其准线的垂线，设垂足为 $Q$ ，若 $∠ P Q F = 30 °$ ，则 $| P Q | =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过 $n$ 层薄膜，记光波的初始功率为 $P_{0}$ ，记 $P_{k}$ 为光波经过第 $k$ 层薄膜后的功率，假设在经过第 $k$ 层薄膜时光波的透过率 $T_{k} = \frac{P_{k}}{P_{k - 1}} = \frac{1}{2^{k}}$ ，其中 $k = 1$ ， 2，3… $n$ ，为使得 $\frac{P_{n}}{P_{0}} \geq 2^{- 2024}$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、31 B、32 C、63 D、64

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7. 如图，在函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 的部分图象中，若 $\vec{T A} = \vec{A B}$ ，则点 $A$ 的纵坐标为（）

A、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $P C = 1$ ， $P A + P B = 4$ ， $C A - C B = 2$ ，且 $P C ⊥ A B$ ，则二面角 $P - A B - C$ 的余弦值的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (c o s θ ， s i n θ)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 4)$ ，则（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t a n θ = - \frac{4}{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $s i n θ = \frac{3}{5}$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为6 D、若 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{6}$

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10. 将两个各棱长均为1的正三棱锥 $D - A B C$ 和 $E - A B C$ 的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）

A、该几何体的表面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、该几何体的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D、直线 $A D / /$ 平面 $B C E$

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11. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + 1) l n (\frac{1 + x}{1 - x}) - e^{x} + 1$ 恰有三个零点，设其由小到大分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则（）

A、实数 $a$ 的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ C、函数 $g (x) = f (x) + k f (- x)$ 可能有四个零点 D、 $\frac{f^{'} (x_{3})}{f^{'} (x_{1})} = e^{x_{3}}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在 $△ A B C$ 中，其内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $B = \frac{3 π}{4}$ ， $b = 6$ ， $a^{2} + c^{2} = 2 \sqrt{2} a c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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13. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与该椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，若线段 $A F_{2}$ 的中垂线过点 $F_{1}$ ，则 $| B F_{2} | =$ ．

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14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 各项均不为0的数列 ${a_{n}}$ 对任意正整数 $n$ 满足： $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} = 1 - \frac{1}{2 a_{n + 1}}$ ．

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，求 $a_{1}$ ；

(2)、若 $a_{1} = - \frac{2}{7}$ ，求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A = P B$ ， $D A = D B = \sqrt{2}$ ， $A B = 2$ ， $P D = 1$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ 和 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $C F ⊥ P E$ ；

(2)、若 $P E = 1$ ，求直线 $C F$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值．

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17. 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
6
销售金额 $y$ ／万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
若 $y$ 与 $x$ 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，
样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$ ；
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 2463.4$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 20 \sqrt{70}$ ．

(1)、试求变量 $y$ 与 $x$ 的样本相关系数 $r$ （结果精确到0.01）；

(2)、试求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．

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18. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其右准线为 $l$ ，点 $F_{2}$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{3}{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的动直线交双曲线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，当直线 $A B$ 与 $x$ 轴垂直时， $| A B | = 6$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、设直线 $A F_{1}$ 与直线 $l$ 的交点为 $P$ ，证明：直线 $P B$ 过定点．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x)$ 是其定义域上的增函数；

(3)、若 $f (x) > a^{x}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，求实数 $a$ 的值．

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年月	2023年8月	2023年9月	2023年10月	2023年11月	2023年12月	2024年1月
月份编号 $x$	1	2	3	4	5	6
销售金额 $y$ ／万元	15.4	25.4	35.4	85.4	155.4	195.4