广东省东莞市2023-2024学年高三上学期数学大湾区数学冲刺卷1（新高考1卷）试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 若集合 $A = {x | m x^{2} + 2 x + 2 = 0}$ 中有两个元素，则实数m的取值范围为（）

A、 ${m | m \neq 0}$ B、 ${m | m < \frac{1}{2}}$ C、 ${m | m < \frac{1}{2} 且 m \neq 0}$ D、 ${m | 0 < m < \frac{1}{2}}$

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2. 若复数 $z$ 满足， $\frac{z}{3 + 2 z} = 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{24}{17}$ B、 $- \frac{24}{17}$ C、 $\frac{6}{17}$ D、 $- \frac{6}{17}$

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3. 已知在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{C D} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ ， $\vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $- \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$ C、 $- \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

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4. 已知点 $A (2 ， 3) ， B (4 ， 1)$ ，直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，则△ $A B C$ 中 $A B$ 边上的高 $C E$ 所在直线的方程是（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x + y + 2 = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $x - y - 2 = 0$

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5. 设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} + 1} ， x \geq 0 \\ - \frac{3}{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - t$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $\frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} - \frac{3}{x_{1}}$ 的取值范围是（）

A、 $(2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $[2 \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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7. 正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 的边长为12，其内有两点 $P$ 、 $Q$ ，点 $P$ 到边 $A A_{1}$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的距离分别为3，2，点 $Q$ 到边 $B B_{1}$ 、 $A B$ 的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得 $A B$ 和 $A_{1} B_{1}$ 重合（如图）．则此时 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{1 + π^{2}}}{π}$ B、 $\frac{6 \sqrt{2 + π^{2}}}{π}$ C、 $\frac{6 \sqrt{3 + π^{2}}}{π}$ D、 $\frac{6 \sqrt{4 + π^{2}}}{π}$

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8. 若存在实数 $a ， b$ ，对任意实数 $x \in [0 ， 1]$ ，使得不等式 $x^{3} - m ≤ a x + b ≤ x^{3} + m$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{9} ， + \infty)$ B、 $[\frac{8 \sqrt{3}}{9} ， + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$

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二、多选题（共20分）

9. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（）

A、这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B、这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱 C、从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差 D、从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值

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10. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + a c o s 2 x$ ，且 $f (x) \leq | f (\frac{7 π}{12}) |$ 对 $x \in R$ 恒成立，则（）

A、 $a = \pm \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、若方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $(0 ， m)$ 上有2个实数解，则 $m \in (π ， \frac{7 π}{6}]$ D、 $f (x)$ 的图象与直线 $24 x - 9 π y - 8 π = 0$ 恰有5个交点

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $y = 2 x$ 垂直，焦距为 $2 \sqrt{5}$ ， P是双曲线右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别相交于点A ， B ， O是坐标原点，则下列结论中正确的是（）

A、双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、双曲线的离心率为 $\sqrt{5}$ C、 $△ P A B$ 的面积为定值 D、 $| P A | + | P B |$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = a^{2 x} - x (a > 0 ， a \neq 1)$ ，下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 恒有 $1$ 个极值点 B、当 $a = e$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $x - y + 1 = 0$ C、若函数 $f (x)$ 有 $2$ 个零点，则 $1 < a < e^{\frac{1}{2 e}}$ D、若过点 $P (0 ， t)$ 存在 $2$ 条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，则 $0 < t < 1$

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三、填空题（共20分）

13. 写出一个正整数 $n > 1$ ，使得 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中存在常数项：．

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14. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 12$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ （ $n \geq 1$ ， $n \in N$ ），则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值是.

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15. 已知 $△ A B C$ 为等腰三角形，其中 $A B = A C$ ，点D为边AC上一点， $c o s B = \frac{1}{3}$ .以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C ，则椭圆E的离心率的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 2}{2 + | x |} ， g (x) = k x + b$ ，若集合 $M = {x | f (x) = g (x)}$ 中恰有3个元素，且它们的和为0，则实数 $k$ 的取值集合是．

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四、解答题（共70分）

17. 在 $△ A B C$ 中， $s i n (A + \frac{π}{4}) s i n (B + \frac{π}{4}) = c o s A c o s B$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $A B = \sqrt{2}$ ，求 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最小值．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比 $q = 3 ， S_{4} = 160$ .

(1)、求 $a_{3}$ ；

(2)、若在 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.

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19. 如图，已知 $S A$ 垂直于梯形 $A B C D$ 所在的平面，矩形 $S A D E$ 的对角线交于点F ， G为 $S B$ 的中点， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $S A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ .

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $A E G$ ；

(2)、求平面 $S C D$ 与平面 $E S D$ 夹角的余弦值.

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20. 品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， … ， a_{n}$ ，并令 $X = \sum_{i = 1}^{n} | i - a_{i} |$ ，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.

(1)、当 $n = 3$ 时，若 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；

(2)、当 $n = 4$ 时，
①若 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算 $X \leq 2$ 的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有 $X \leq 2$ （各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线 $y = k (x - 1) (k > 0)$ 与椭圆C交于A ， B两点，且与x轴，y轴交于M ， N两点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $\vec{M B} = \vec{A N}$ ，求k的值；

(3)、若点Q的坐标为 $(\frac{7}{4} ， 0)$ ，求证： $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 为定值.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x}$ （e为自然对数的底数），函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．

(1)、设函数 $h (x) = \frac{m f (x)}{s i n x}$ ，若 $x \in (0 ， π)$ 时， $h (x) \geq \sqrt{2}$ 恒成立，求m的取值范围；

(2)、证明： $f (x)$ 与 $g (x)$ 有且仅有两条公切线，且 $f (x)$ 图象上两切点横坐标互为相反数．

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