浙江省台州市椒江区书生中学2022-2023学年高一下学期数学段考3月模拟试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：月考试卷

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一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1. 设如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} = \vec{C D}$ B、 $\vec{A B} + \vec{D A} = \vec{B D}$ C、 $\vec{A D} + \vec{B C} = \vec{0}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B}$

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2. 下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A C} - \vec{B D} + \vec{C D} + \vec{B A} = \vec{A B}$ B、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则A ， B ， C ， D四点可以构成平行四边形 C、若平面向量 $\vec{a}$ 与平面向量 $\vec{b}$ 相等，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是始点与终点都相同的向量 D、向量 $\vec{a} =$ （2，0）与 $\vec{b} =$ （1，1）可以作为平面内所有向量的一组基底

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3. 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，已知ccosA $- \sqrt{3}$ csinA﹣b+a＝0，则C＝（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，则“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同”是“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，且| $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ | $= \sqrt{13}$ ，那么它们的夹角等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 等边 $△ A B C$ 的边长为3，若 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{B F} = \vec{F D}$ ，则 $| \vec{A F} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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7. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且a²+b²﹣c²＝﹣ab ，若c＝3，则△ABC的外接圆的半径为（）

A、6 B、3 C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 如果 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内所有向量的一组基底，那么（）

A、该平面内存在一向量 $\vec{a}$ 不能表示 $\vec{a} = m \vec{e_{1}} + n \vec{e_{2}}$ ，其中m，n为实数 B、若向量 $m \vec{e_{1}} + n \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{a}$ 共线，则存在唯一实数λ使得 $m \vec{e_{1}} + n \vec{e_{2}} = λ \vec{a}$ C、若实数m，n使得 $m \vec{e_{1}} + n \vec{e_{2}} = \vec{0}$ ，则m=n=0 D、对平面中的某一向量 $\vec{a}$ ，存在两对以上的实数m，n使得 $\vec{a} = m \vec{e_{1}} + n \vec{e_{2}}$

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二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9. 已知对任意角α，β均有公式sin2α+sin2β＝2sin（α+β）cos（α﹣β）．设△ABC的内角A ， B ， C满足sin2A+sin（A﹣B+C）＝sin（C﹣A﹣B） $+ \frac{1}{2}$ ，面积S满足1≤S≤2．记a ， b ， c分别为A ， B ， C所对的边，则下列式子一定成立的是（）

A、 $s i n A s i n B s i n C = \frac{1}{8}$ B、 $2 \leq \frac{a}{s i n A} \leq 2 \sqrt{2}$ C、 $8 \leq a b c \leq 16 \sqrt{2}$ D、bc（b+c）＞8

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10. 已知向量 $\vec{a} =$ （2，1）， $\vec{b} =$ （﹣3，1），则下列说法正确的是（）

A、（ $\vec{a} + \vec{b}$ ） $∥ \vec{a}$ B、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、若 $\vec{c} =$ （ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ），则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$

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11. 在△ABC中，若 $\sqrt{3}$ a＝2bsinA ，则B可能为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12. 下列结论中正确的有（）

A、对于实数m和向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，恒有m（ $\vec{a} - \vec{b}$ ）＝m $\vec{a} -$ m $\vec{b}$ B、对于实数m ， n和向量 $\vec{a}$ ，恒有（m﹣n） $\vec{a} =$ m $\vec{a} -$ n $\vec{a}$ C、对于实数m和向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若m $\vec{a} =$ m $\vec{b}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、对于实数m ， n和向量 $\vec{a}$ ，若m $\vec{a} =$ n $\vec{a}$ ，则m＝n

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三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13. 已知P₁（2，﹣1），P₂（0，5）且点P在P₁P₂的延长线上， $| \vec{P_{1} P} | = 2 | \vec{P P_{2}} |$ ，则点P的坐标为．

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14. 已知 $\vec{a}$ 为单位向量， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ．若 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{5}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 在△ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c ，若a＝﹣ccos（A+C），则△ABC的形状一定是．

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16. 在△ABC中， $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ， AC＝4，若E点在BC边上，且BE＝EC ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A C} =$ ．

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四、解答题（共5小题，满分70分，每小题14分）

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3) ， \vec{b} = (m ， 2) ， \vec{c} = (- 1 ， 2)$ ；

(1)、若3 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 共线，求m；

(2)、若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，求| $2 \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ |．

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18. 设向量 $\vec{O A} = (- 2 ， 3)$ ， $\vec{O B} = (2 ， 1)$ ， $\vec{O C} = (x ， 5)$ ．

(1)、当x＝1时，以 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 为基底表示 $\vec{O C}$ ；

(2)、若 $\vec{O B} ， \vec{O C}$ 的夹角为锐角，求实数x的取值范围．

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19. 已知△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且bcosC+ccosB＝2 $\sqrt{3}$ sinA ．

(1)、求△ABC外接圆的面积；

(2)、记△ABC内切圆的半径为r ，若B $= \frac{π}{3} ， b = 2 \sqrt{3}$ r ，求△ABC的面积．

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20. △ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知6sinBsinC＝1﹣cos2C ， AD为∠BAC的角平分线．

(1)、求 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A D C}}$ 的值；

(2)、若 $A C = 3 ， B D = 3 \sqrt{3}$ ，求AD的长．

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21. 已知向量 $\vec{a} =$ （cos $\frac{3 x}{2}$ ， sin $\frac{3 x}{2}$ ）， $\vec{b} =$ （cos $\frac{x}{2}$ ， ﹣sin $\frac{x}{2}$ ），函数f（x） $= \vec{a}$ • $\vec{b} -$ m| $\vec{a} + \vec{b}$ |+1，x∈[ $- \frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{4}$ ]，m∈R．

(1)、当m＝0时，求f（ $\frac{π}{6}$ ）的值；

(2)、若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；

(3)、是否存在实数m ，使函数g（x）＝f（x） $+ \frac{24}{49}$ m² ， x∈[ $- \frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{4}$ ]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

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