浙江省名校协作体2023-2024学年高二下学期数学开学适应性考试试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：开学考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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2. 平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (2 ， 0 ， 1)$ ，点 $A (- 1 ， 2 ， 1)$ 在 $α$ 内，则点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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3. 已知 $m \in R$ ，则“ $m = - 6$ ”是“直线 $(m + 2) x - (m - 2) y + 2 = 0$ 与 $3 x + m y - 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a_{1} a_{4} \geq a_{2} a_{3}$ B、 $a_{1} a_{4} \leq a_{2} a_{3}$ C、 $b_{1} + b_{4} \leq b_{2} + b_{3}$ D、 $b_{4} - b_{1} \leq b_{3} - b_{2}$

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6. 下列函数图象中，不可能是函数 $f (x) = x^{α} \cdot \cos x (α \in Z ， | α | \leq 2)$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知E ， F分别是矩形ABCD边AD ， BC的中点，沿EF将矩形ABCD翻折成大小为 $α$ 的二面角．在动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中，记二面角 $B - A P - C$ 的大小为 $θ$ ，则（）

A、当 $α < 90 °$ 时，sin $θ$ 先增大后减小 B、当 $α < 90 °$ 时，sin $θ$ 先减小后增大 C、当 $α > 9 0^{∘}$ 时，sin $θ$ 先增大后减小 D、当 $α > 9 0^{∘}$ 时，sin $θ$ 先减小后增大

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8. 已知点A是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点，过点A且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线l与椭圆C交于另一点P（点P在第一象限）．以原点O为圆心， $| O P |$ 为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点Q ．若 $| P A | > | P Q |$ ，则椭圆C离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得得部分分，有选错的不得分.

9. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 A A_{1}$ ，则（）

A、直线 $A A_{1}$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $6 0^{∘}$ B、平面 $A A_{1} D_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ C、 $A A_{1} / /$ 平面 $C_{1} B D$ D、 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$

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10. 设F为双曲线 $C ： x^{2} - y^{2} = 2$ 的右焦点，O为坐标原点．若圆 $x^{2} + (y - m)^{2} = 4$ 交C的右支于A ， B两点，则（）

A、C的焦距为 $2 \sqrt{2}$ B、 $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 为定值 C、 $| O A | + | O B |$ 的最大值为4 D、 $| F A | + | F B |$ 的最小值为2

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ ：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（）

A、 $a_{20} = 21$ B、 $a_{\frac{n (n + 1)}{2}} = n^{2} - 2 n + 2$ C、存在正整数m ，使得 $a_{m}$ ， $a_{m + 1}$ ， $a_{m + 2}$ 成等比数列 D、有且仅有3个不同的正整数 $m ， m + 1 ， m + 2$ ，使得 $a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} = 156$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12. 若 $t a n θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{c o s 4 θ - 4 c o s 2 θ + 3}{c o s 4 θ + 4 c o s 2 θ + 3} =$

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 2^{n}$ ，则 $\frac{a_{5}}{a_{4}} =$ ；设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{11}$ =.

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14. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ A B D + ∠ C B D = \frac{π}{2}$ ， $B D = B C = 2$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球表面积的最小值为.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $a = 3 \sqrt{2}$ ， $a s i n B = b s i n (A + \frac{π}{3})$ .

(1)、求角A；

(2)、作角A的平分线与 $B C$ 交于点 $D$ ，且 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ .

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16. 若存在常数k ， b使得函数 $F (x)$ 与 $G (x)$ 对于给定区间上的任意实数x ，均有 $F (x) \geq k x + b \geq G (x)$ ，则称 $y = k x + b$ 是 $y = F (x)$ 与 $y = G (x)$ 的隔离直线．已知函数 $f (x) = x^{2} - x + 1$ ， $g (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{x}) + 1$ ．

(1)、在实数范围内解不等式： $f (x) \geq g (x)$ ；

(2)、当 $x > 0$ 时，写出一条 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的隔离直线的方程并证明．

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 中，边长为4， $E$ 为 $A B$ 中点， $F$ 是边 $B C$ 上的动点．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ S E F$ ，

(1)、求证：平面 $S E F ⊥$ 平面 $S F D$ ；

(2)、设面 $S A D \cap$ 面 $S B C = l$ ，求证： $A D ∥ l$ ；

(3)、若 $B F > 1$ ，连接 $D F$ ，设直线 $S E$ 与平面 $D E F$ 所成角为 $θ$ ，求 $θ$ 的最大值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S n = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2}$ ，数列 ${\frac{a_{n}}{T_{n}}}$ 的前n项和为 $R_{n}$ ，证明： $\frac{3}{4} (1 - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}) \leq R_{n} < 1$ ．

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19. 已知A是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点（异于原点），斜率为 $k_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 与抛物线恰有一个公共点A（ $l_{1}$ 与x轴不平行）．

(1)、当 $k_{1} = 32 p$ 时，求点A的纵坐标；

(2)、斜率为 $k_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 与抛物线交于B ， C两点，且 $△ A B C$ 是正三角形，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的取值范围．

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