浙江省杭州第二名校2023-2024学年高三下学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 3}$ ，则集合 $C = {z | z = x + y ， x \in A ， y \in B}$ 的真子集个数为（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{3} \cdot a_{5} = 4 (a_{4} - 1)$ ，则 $a_{7}$ 的值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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3. 函数 $y = - c o s x l n | x |$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $a ， b \in R$ ，则 $1 < b < a$ 是 $a - 1 > | b - 1 |$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a = 0.75$ ， $b = 2 l o g_{5} 2$ ， $c = s i n \frac{π}{5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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6. ${(x + 1 - \frac{2}{y})}^{6}$ 的展开式中， $\frac{x^{4}}{y^{2}}$ 的系数为（）

A、60 B、 $- 60$ C、120 D、 $- 120$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P为椭圆上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $F_{1}$ 关于 $∠ F_{1} P F_{2}$ 平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) c o s (α + \frac{5 π}{12}) = - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 设 $α ， β ， γ$ 为互不重合的平面， $m ， n$ 为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $α ∥ γ ， β ∥ γ$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $α \cap β = m ， m ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ$ C、若 $m ∥ α ， n ∥ β ， m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$

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10. 有一组互不相等的样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{6}$ ，平均数为 $\bar{x}$ .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为 $y_{1} ， y_{2} ， ⋯ ， y_{5}$ ，平均数为 $\bar{y}$ ，则（）

A、新数据的极差可能等于原数据的极差 B、新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C、若 $\bar{x} = \bar{y}$ ，则新数据的方差一定大于原数据方差 D、若 $\bar{x} = \bar{y}$ ，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数

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11. 记函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $f (T) = \sqrt{3}$ ，且 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值与最小值的差为3，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (- \frac{π}{3}) = f (\frac{π}{9})$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{9} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减 D、直线 $y = \sqrt{3} - \frac{3}{2} x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 1 \\ l n x ， x > 1 \end{array}$ ．则 $f (1) =$ ；若 $f (m) = 1$ ，则实数m的值为．

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13. 设 $z_{1} ， z_{2}$ 是复数，已知 $| z_{1} | = 1$ ， $| z_{2} | = 3$ ， $| z_{1} - z_{2} | = \sqrt{5}$ ，则 $| z_{1} + z_{2} | =$ ．

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14. 如图，已知 $B C = 3$ ， $D$ ， $E$ 为 $△ A B C$ 边 $B C$ 上的两点，且满足 $∠ B A D = ∠ C A E$ ， $\frac{B D \cdot B E}{C D \cdot C E} = \frac{1}{4}$ ，则当 $∠ A C B$ 取最大值时， $△ A B C$ 的面积等于.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $P A ⊥ P B$ ， $P C = 2$ ．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P A = P B$ ，求二面角 $A - P C - D$ 的余弦值.

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16. 设函数 $f (x) = x (x - 1) (x - 2)$ 的图像为曲线 $C$ ，过原点 $O$ 且斜率为 $t$ 的直线为 $l$ .设 $C$ 与 $l$ 除点 $O$ 外，还有另外两个交点 $P$ ， $Q$ （可以重合），记 $g (t) = | \vec{O P} | \cdot | \vec{O Q} |$ .

(1)、求 $g (t)$ 的解析式；

(2)、求 $g (t)$ 的单调区间.

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17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.

(1)、若数学组的7名学员中恰有3人来自 $A$ 中学，从这7名学员中选取3人， $ξ$ 表示选取的人中来自 $A$ 中学的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ .假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当 $p_{1} + p_{2} = \frac{4}{3}$ 时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.

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18. 已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ .设 $M (x_{0} ， y_{0})$ （其中 $x_{0} > 0$ ， $y_{0} > 0$ ）为拋物线 $C_{2} ： x^{2} = 4 (y + 1)$ 上一点.过 $M$ 作抛物线 $C_{1}$ 的两条切线 $M A$ ， $M B$ ， $A$ ， $B$ 为切点.射线 $M F$ 交抛物线 $C_{2}$ 于另一点 $D$ .

(1)、若 $x_{0} = 2$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、求四边形 $M A D B$ 面积的最小值.

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19. 设整数 $n ， k$ 满足 $1 \leq k \leq n$ ，集合 $A = {2^{m} | 0 \leq m \leq n - 1 ， m \in Z}$ .从 $A$ 中选取 $k$ 个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有 $C_{n}^{k}$ 个，设它们的和为 $a_{n ， k}$ .例如 $a_{3 ， 2} = 2^{0} \cdot 2^{1} + 2^{0} \cdot 2^{2} + 2^{1} \cdot 2^{2} = 14$ .

(1)、若 $n \geq 2$ ，求 $a_{n ， 2}$ ；

(2)、记 $f_{n} (x) = 1 + a_{n ， 1} x + a_{n ， 2} x^{2} + ⋯ + a_{n ， n} x^{n}$ .求 $\frac{f_{n + 1} (x)}{f_{n} (x)}$ 和 $\frac{f_{n + 1} (x)}{f_{n} (2 x)}$ 的整式表达式；

(3)、用含 $n$ ， $k$ 的式子来表示 $\frac{a_{n + 1 ， k + 1}}{a_{n ， k}}$ .

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