甘肃省金昌市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项．）

1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A、1，2，1 B、1，－2，1 C、0，－2，－1 D、0，－2，1

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3. 下列事件是必然事件的是（）

A、明年10月有31天 B、雨后天空出现彩虹 C、从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡 D、在足球比赛中，弱队战胜强队

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4. 抛物线 $y = 3 {(x + 1)}^{2} - 3$ 的顶点坐标是（）

A、（1，3） B、（－1，－3） C、（－1，3） D、（1，－3）

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5. 如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A^'B^'C ， A^'B^'交AC于点D ，若∠A^'DC＝90°，则∠A的度数为（）

A、35° B、75° C、55° D、65°

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6. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的过程中，配方正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 5$

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7. 若反比例函数 $y = \frac{k + 2}{x}$ 的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（）

A、k≥－2 B、k＞－2 C、k＜－2 D、k＜2

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8. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 如图，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，AB与CD相交于点M ．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到CD⊥AB的是（）

A、AM＝BM B、OM＝CM C、 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ D、 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$

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10. 某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元，设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为（）

A、(22＋x－15)(40－3x)＝156 B、(x－15)[40－3(x－22)]＝156 C、(22＋x)(40－3x)＝156 D、(22＋x)(40－3x)－15×40＝156

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11. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（）．

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，其对称轴为直线 $x = 1$ ，以下四个结论：
①abc＜0；② ${(a + c)}^{2} < b^{2}$ ；③a＋b＜m(am＋b)，其中 $m \neq 1$ ；④4a＋2b＋c＞0．其中正确结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

13. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O ，连接OC ， OD ，则∠COD＝度．

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14. 已知 $x = m$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $2024 - m^{2} + m$ 的值是．

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15. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球、3个白球、若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个．

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16. 如图所示是某校一名女生在抛实心球时，实心球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，实心球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，则实心球推出的水平距离OA的长是m．

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三、解答题（本大题共12小题，共86分．）

17. 解方程．

(1)、 $x (x + 1) - 2 (x + 1) = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ．

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18. 如图，四边形ABCD内接于⊙O ， E为BC延长线上一点，连接AC ， BD ，若DA＝DB ．
求证：CD平分∠ACE ．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 5) x + 6 + 2 k = 0$ ．

(1)、求证：此方程总有两个实数根；

(2)、若此方程恰有一个根小于-1，求k的取值范围．

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20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE ，点C ， A的对应点分别为E ， F ，点E落在BA上，连接AF ．

(1)、若∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为；

(2)、求AC＝8，BC＝6，求AF的长．

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21. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

(1)、画出△ABC关于坐标原点中心对称的△A₁B₁C₁ ，并写出A₁ ， B₁ ， C₁的坐标；

(2)、求出△ABC的面积．

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22. 2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，深受大家喜爱．某店家销售该吉祥物，已知每件进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件，根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．

(1)、若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是件（用含x的代数式表示）；

(2)、不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元？

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23. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的关系如图所示．

(1)、求当4＜x＜a时，y与x之间的函数表达式；

(2)、加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？

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24. 小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）的关系是一次函数：y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的60%．

(1)、设小明每月获得的利润为W（元），求每月获得利的润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)、当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？

(3)、当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

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25. 四张卡片上分别标有1，2，3，4，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀．

(1)、任意从盒子里抽取一张卡片，将卡片上的数字记为x ，不放回，再任意抽取第二张卡片，将卡片上的数字记为y ，请你用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果；

(2)、求出（1）中的点（x ， y）在函数y＝x＋2图象上的概率．

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26. 如图，在△ABC中，AB＝AC ．以AC为直径的⊙O交BC于点D ，过点D作DE⊥AB于E ．

(1)、求证，DE是⊙O的切线；

(2)、若∠B＝30°，AB＝8，求BD ．

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27. 如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α（0°＜α＜90°），点F在直线DE上，且AD＝AF ，连接BF ．

(1)、求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．

(2)、求证：EF＝ $\sqrt{2}$ BF ．

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28. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A ，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，若PC∥AB ，求P点的坐标；

(3)、如图2，当点P运动到什么位置时，△PCB的面积最大？求出此时P点的坐标和△PCB的最大面积．

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