北京市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 在平面直角坐标系中，点 $A (3 ， - 4)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(3 ， - 4)$ C、 $(- 3 ， - 4)$ D、 $(- 3 ， 4)$

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2. 下列事件中，是不可能事件的是（）

A、一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1-6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8 B、射击运动员射击一次，命中靶心 C、通常温度降到 $0 ℃$ 以下，纯净的水结冰 D、在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行

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3. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，若 $⊙ O$ 的半径 $O A = 5$ ，圆心 $O$ 到弦 $A B$ 的距离 $O C = 3$ ，则弦 $A B$ 的长为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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5. 不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 把抛物线 $y = 3 x^{2}$ 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）

A、 $y = 3 (x - 5)^{2} + 2$ B、 $y = 3 (x + 5)^{2} + 2$ C、 $y = 3 (x + 2)^{2} + 5$ D、 $y = 3 (x - 2)^{2} + 5$

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7. 在如图所示的正方形网格中，四边形 $A B C D$ 绕某一点旋转某一角度得到四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ （所有顶点都是网格线交点），在网格线交点 $M ， N ， P ， Q$ 中，可能是旋转中心的是（）

A、点 $M$ B、点 $N$ C、点 $P$ D、点 $Q$

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8. 用一个圆心角为 $n °$ （ $n$ 为常数， $0 < n < 180$ ）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为 $R$ ，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为 $S$ ，当 $R$ 在一定范围内变化时，与 $S$ 都随 $R$ 的变化而变化，则l与 $R ， S$ 与 $R$ 满足的函数关系分别是（）

A、一次函数关系，一次函数关系 B、二次函数关系，二次函数关系 C、一次函数关系，二次函数关系 D、二次函数关系，一次函数关系

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二、填空题（共16分，每题2分）

9. 方程 $x^{2} - 9 = 0$ 的根是．

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10. $⊙ O$ 的直径为 $15 c m$ ，若圆心 $O$ 与直线的距离为 $7.5 c m$ ，则与 $⊙ O$ 的位置关系是（填“相交”、“相切”或“相离”）．

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11. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 4$ 的顶点坐标是．

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12. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B ， C D$ 相交于点 $E ， ∠ A E C = 74 ° ， ∠ A B D = 36 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为．

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13. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数 $n$
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
合格的产品数 $m$
476
967
1431
1926
2395
2883
3367
3836
合格的产品频率 $\frac{m}{n}$
0.952
0.967
0.954
0.963
0.958
0.961
0.962
0.959
估计这批产品合格的产品的概率为．

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14. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，将半圆 $O$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30 °$ ，点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ，若 $A B = 8$ ，则图中阴影部分的面积是．

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15. 对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度 $h$ ，初速度 $v$ ，抛出后所经历的时间，这三个量之间有如下关系： $h = v t - \frac{1}{2} g t^{2}$ （其中 $g$ 是重力加速度， $g$ 取 $10 m / s^{2}$ ）．将一物体以 $v = 21 m / s$ 的初速度向上抛，当物体处在离抛出点 $18 m$ 高的地方时，的值为．

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16. 已知函数 $y_{1} = k x + 4 k - 2$ （ $k$ 是常数， $k \neq 0$ ）， $y_{2} = a x^{2} + 4 a x - 5 a$ （ $a$ 是常数， $a \neq 0$ ），在同一平面直角坐标系中，若无论 $k$ 为何值，函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的图象总有公共点，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 解方程 $x^{2} - 1 = 6 x$ ．

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18. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 4) x + 3 (m + 1) = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若该方程有一根小于0，求 $m$ 的取值范围．

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19. 已知一次函数 $y_{1} = m x + n (m \neq 0)$ 和二次函数 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，下表给出了 $y_{1} ， y_{2}$ 与自变量 $x$ 的几组对应值：
$x$
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
…
$y_{1}$
…
5
4
3
2
1
0
$- 1$
…
$y_{2}$
…
$- 5$
0
3
4
3
0
$- 5$
…

(1)、求 $y_{2}$ 的解析式；

(2)、直接写出关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > m x + n$ 的解集．

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20. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， D$ 是 $B C$ 边上任意一点（不与 $B ， C$ 重合），将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $0 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E ， D E$ ．

(1)、求 $∠ E C D$ 的度数；

(2)、若 $A B = 4 ， B D = \sqrt{2}$ ，求 $D E$ 的长．

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21. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．

(1)、列举出所有可能的情况；

(2)、求出至少有一辆车向左转的概率．

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22. 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ A D C = 180 °$ ．
求证：点 $A ， B ， C ， D$ 在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点 $A ， B ， C$ 的 $⊙ O$ ，再证明第四个顶点 $D$ 也在 $⊙ O$ 上．
具体过程如下：
步骤一作出过 $A ， B ， C$ 三点的 $⊙ O$ ．
如图1，分别作出线段 $A B ， B C$ 的垂直平分线 $m ， n$ ，
设它们的交点为 $O$ ，以 $O$ 为圆心， $O A$ 的长为半径作 $⊙ O$ ．
连接 $O A ， O B ， O C$ ，
$∴ O A = O B ， O B = O C$ （①        ▲     ）．（填推理依据）
$∴ O A = O B = O C$ ．
$∴$ 点 $B ， C$ 在 $⊙ O$ 上．
步骤二用反证法证明点 $D$ 也在 $⊙ O$ 上．
假设点 $D$ 不在 $⊙ O$ 上，则点 $D$ 在 $⊙ O$ 内或 $⊙ O$ 外．
ⅰ．如图2，假设点 $D$ 在 $⊙ O$ 内．
延长 $C D$ 交 $⊙ O$ 于点 $D_{1}$ ，连接 $A D_{1}$ ．
$∴ ∠ B + ∠ D_{1} = 180 °$ （②        ▲     ）．（填推理依据）
$∵ ∠ A D C$ 是 $△ A D D_{1}$ 的外角，
$∴ ∠ A D C = ∠ D A D_{1} + ∠ D_{1}$ （③        ▲     ）．（填推理依据）
$∴ ∠ A D C > ∠ D_{1}$ ．
$∴ ∠ B + ∠ A D C > 180 °$ ．
这与已知条件 $∠ B + ∠ A D C = 180 °$ 矛盾．
$∴$ 假设不成立．即点 $D$ 不在 $⊙ O$ 内．
ⅱ．如图3，假设点 $D$ 在 $⊙ O$ 外．
设 $C D$ 与 $⊙ O$ 交于点 $D_{2}$ ，连接 $A D_{2}$ ．
$∴ ∠ B + ∠ A D_{2} C = 180 °$ ．
$∵ ∠ A D_{2} C$ 是 $△ A D_{2} D$ 的外角，
$∴ ∠ A D_{2} C = ∠ D A D_{2} + ∠ A D C$ ．
$∴ ∠ A D C < ∠ A D_{2} C$ ．
$∴ ∠ B + ∠ A D C < 180 °$ ．
这与已知条件 $∠ B + ∠ A D C = 180 °$ 矛盾．
$∴$ 假设不成立．即点 $D$ 不在 $⊙ O$ 外．
综上所述，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上．
$∴$ 点 $A ， B ， C ， D$ 在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：

(1)、根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；

(2)、填推理依据：① ， ② ， ③ ．

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23. 某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表：
队员号码
比赛场次
胜场
负场
积分
1
10
8
2
18
2
10
10
0
20
3
8
7
1
15
4
8
6
2
14
5
7
0
7
7

(1)、在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？

(2)、如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负场．

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24. 如图， $A C ， B D$ 是圆内接四边形 $A B C D$ 的对角线， $A C ⊥ B D$ 于点 $E ， B D$ 平分 $∠ A D C$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、点 $P$ 在 $D B$ 的延长线上， $P A$ 是该圆的切线．
①求证： $P C$ 是该圆的切线；
②若 $P A = A C = \sqrt{3}$ ，直接写出 $P D$ 的长．

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25. 如图1所示，草坪上的喷水装置 $P A$ 高 $1 m$ ，喷头 $P$ 一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置 $P A$ 的水平距离为 $4 m$ 处，达到最高点 $C$ ，点 $C$ 距离地面 $\frac{25}{9} m$ ．

(1)、请建立适当的平面直角坐标系 $x O y$ ，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；

(2)、这个喷水装置的喷头 $P$ 能旋转 $220 °$ ，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（ $π$ 取3，结果保留整数）．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(x_{1} ， m) ， (x_{2} ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．

(1)、若对于 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 3$ ，有 $m = n$ ，求的值；

(2)、若对于 $t - 1 < x_{1} < t ， 2 < x_{2} < 3$ ，存在 $m > n$ ，求的取值范围．

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27. 已知线段 $A B$ 和点 $C$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，得到线段 $A D$ ，将线段 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $180 ° - α$ ，得到线段 $B E$ ，连接 $D E ， F$ 为 $D E$ 的中点，连接 $A F ， B F$ ．

(1)、如图1，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，依题意补全图1，直接写出 $∠ A F B$ 的度数；

(2)、如图2，点 $C$ 在线段 $A B$ 的上方，写出一个 $α$ 的度数，使得 $A F = \sqrt{3} B F$ 成立，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (t - 2 ， 0) ， B (t + 2 ， 0)$ ．
对于点 $P$ 给出如下定义：若 $∠ A P B = 45 °$ ，则称 $P$ 为线段 $A B$ 的“等直点”．

(1)、当 $t = 0$ 时，
①在点 $P_{1} (0 ， 2 + 2 \sqrt{2}) ， P_{2} (- 4 ， 0) ， P_{3} (- 2 \sqrt{2} ， - 2) ， P_{4} (2 ， 5)$ 中，线段 $A B$ 的“等直点”是 ▲ ；
②点 $Q$ 在直线 $y = x$ 上，若点 $Q$ 为线段 $A B$ 的“等直点”，直接写出点 $Q$ 的横坐标．

(2)、当直线 $y = x + t$ 上存在线段 $A B$ 的两个“等直点”时，直接写出的取值范围．

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抽取的产品数 $n$	500	1000	1500	2000	2500	3000	3500	4000
合格的产品数 $m$	476	967	1431	1926	2395	2883	3367	3836
合格的产品频率 $\frac{m}{n}$	0.952	0.967	0.954	0.963	0.958	0.961	0.962	0.959

$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	…
$y_{1}$	…	5	4	3	2	1	0	$- 1$	…
$y_{2}$	…	$- 5$	0	3	4	3	0	$- 5$	…

队员号码	比赛场次	胜场	负场	积分
1	10	8	2	18
2	10	10	0	20
3	8	7	1	15
4	8	6	2	14
5	7	0	7	7