四川省绵阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求．

1. 二次函数 $y = {(x - 3)}^{2} + 1$ 的最小值是（）

A、3 B、－3 C、1 D、－1

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2. 下列选项中是随机事件的是（　　）

A、水从高处往低处流动 B、任意画一个三角形，其内角和是 $180 °$ C、煮熟的种子发芽 D、周末逛公园遇到同学

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3. 今年冬天寒潮来袭，气温持续走低，让人们更多关注天气资讯，下面是四种天气符号图标，其中不是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 一元二次方程 $x^{2} - \frac{1}{2} x - 1 = 0$ 根的情况是（　　）

A、有两个相等实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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5. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 与弦 $C D$ 相交，若 $∠ A B D = 55 °$ ，则 $∠ B C D =$ （　　）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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6. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注： $频率 = \frac{钉尖向上的次数}{投掷次数}$ ）
下面有四个推断：
①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620；
④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次．
其中合理的是（　　）

A、① B、② C、③ D、④

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7. 如图，教室里的水平地面有一个倒地的灰斗， $B C$ 与地面的夹角为 $55 °$ ， $∠ C = 26 °$ ，小明同学将它扶起（将灰斗绕点C逆时针旋转）后平放在地面上， $A B$ 的对应线段为 $A^{'} B^{'}$ ，在这一过程当中，灰斗柄 $A B$ 绕点C旋转了（　　）

A、 $99 °$ B、 $89 °$ C、 $74 °$ D、 $64 °$

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8. 随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有 $3.5$ 万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到 $5.04$ 万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（　　）

A、 $10 %$ B、 $15 %$ C、 $20 %$ D、 $25 %$

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9. 已知直线 $y = a x + b$ 经过第一、三、四象限，则抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 可能是下列中的（　　）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $⊙ M$ 的圆心M在一次函数 $y = \frac{3}{5} x + 3$ 位于第一象限中的图象上， $⊙ M$ 与y轴交于C、D两点，若 $⊙ M$ 与x轴相切，且 $C D = 2 \sqrt{11}$ ，则 $⊙ M$ 半径是（）

A、 $\frac{27}{8}$ 或5 B、5或6 C、 $\frac{27}{8}$ 或6 D、5

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11. 如图为反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 与 $y = \frac{4}{x}$ 在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A ，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B ，则 $△ A B P$ 面积应是（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12. 如图，经过 $A (- 3 ， 0)$ 的直线与抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} - x + \frac{13}{6}$ 交于B ， C两点，且 $A B = B C$ ，则直线 $A B$ 的解析式是（　　）

A、 $y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$ B、 $y = \frac{2}{3} x + 2$ C、 $y = \frac{1}{3} x + 1$ D、 $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

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二、填空题：本小题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．

13. 若反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象经过点A（1，2），则k= ．

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14. 如图，已知点A的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，点B的坐标为 $(- 1 ， 3)$ ，将线段 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $A C$ ，则点C坐标是．

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15. 若一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ ．

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16. 如图，若圆锥的底面圆半径为 $r$ ，圆锥的母线长为 $l$ ，且 $\frac{r}{l} = \frac{3}{5}$ ，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是．

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17. 如图，抛物线 $y = - \frac{8}{7} x^{2} + \frac{24}{7} x + 2$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则 $P A + P C$ 取最小值时，点P坐标是．

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18. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点A逆时针旋转，使得C点对应的 $C^{'}$ 恰在CB延长线上，点B的对应点为 $B^{'}$ ，连接 $C B^{'}$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，则 $C B^{'} =$ ．

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三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19. 解方程

(1)、 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$

(2)、 $x (x + 2) + 4 (x - 10) = x + 10$

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20. 2025年四川将迎来首届不分文理的“3+1+2”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分．

(1)、在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中随机选择2门，恰好有地理学科的概率是多少？（用列举法进行分析）

(2)、由首选和再选科目组成的选择考3门学科共有种不同的组合；

(3)、小明同学对物理和生物很有兴趣，若在选择考3门学科的所有组合中随机选择一种组合，则该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率是．

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21. 如图为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限中的图象，已知一次函数 $y = \frac{1}{4} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点A ，且A点横坐标为4，直线 $A B$ 与与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 解析式；

(2)、如图，过点A作 $A E ⊥ x$ 轴于点E ，过点B作 $B F ⊥ y$ 轴于点F ，若点B横坐标为 $\frac{3}{2}$ ，求证： $△ B F D ≌ △ C E A$ ．

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22. 2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，让四川成为了全世界年轻人关注的焦点，其中大运会吉祥物蓉宝也广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套42元的价格购进一批蓉宝．若该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．

(1)、设蓉宝每套售价定为 $x$ 元时，求该商品销售量 $y$ （套）与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求每套售价定为多少元时，每天销售所获利润 $W$ 最大，最大利润是多少元？

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23. 如图，D、O是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的两个三等分点，顶点A在以 $C D$ 为直径的 $⊙ O$ 上，延长 $C A$ 至点E ，且 $D E ⊥ B C$ ， $D E$ 与 $A B$ 交于点F ， $F E = F A$ ．

(1)、证明： $⊙ O$ 与 $A B$ 相切；

(2)、若 $D E = 2$ ，求阴影部分面积．

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24. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $R t △ A B^{'} C^{'}$ ， $A B$ 与 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 交于点D ， $A C^{'}$ 与 $B C$ 交于点E ， $B C$ 与 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 交于点F ，当B、D、F重合时停止旋转．

(1)、证明：在旋转过程中 $∠ B F D = ∠ C^{'} A C$ ；

(2)、如图1，当 $A B$ 平分 $∠ B^{'} A C^{'}$ 时，证明： $A E + B D = A B^{'}$ ；

(3)、如图2，若 $B C = 5$ ， $A C = 4$ ，在旋转过程中，当 $△ A B E$ 是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度．

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25. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴交于 $A$ 点，其中 $A (0 ， 4)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线解析式；

(2)、如图1，若点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，求当 $△ A P C$ 的面积最大时点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，点 $D$ 为线段 $B C$ 中点，过点 $D$ 作 $D E ∥ A B$ ，连接 $C E$ ， $A E$ ，且 $D E = A E$ ， $D E$ 与 $A C$ 交于点 $M$ ，试分析在 $B A$ 延长线上是否存在 $F$ 点，使得 $△ A E F$ 与 $△ C D E$ 全等，若存在请求出点 $F$ 坐标，若不存在则说明理由．

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